Алгебра множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Алгебра событий»)
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение[править | править вики-текст]

Семейство \mathfrak{A} \subset 2^{X} подмножеств множества X называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. \varnothing\in \mathfrak{A}.
  2. Если A\in \mathfrak{A}, то и его дополнение X\setminus A\in\mathfrak{A}.
  3. Объединение двух множеств A,B\in \mathfrak{A} также принадлежит \mathfrak{A}.

Замечания[править | править вики-текст]

  • По определению, если алгебра содержит множество A, то она содержит и его дополнение. Объединением A с его дополнением является исходное множество X. Дополнением к множеству X является пустое множество. Это означает, что множество X и пустое множество содержится в алгебре по определению.
  • В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
  • Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
  • Если исходное множество X является пространством элементарных событий, то алгебра \mathfrak{A} называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий[править | править вики-текст]

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ~\Omega, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности \mathbf{P}. Если \mathbf{P} (x)=0, то событие x \subseteq \Omega называется невозможным событием; если \mathbf{P}(x)=1, то событие x \subseteq \Omega называется достоверным событием;

Событие  A + B или A \cup B , заключается в том, что из двух событий  A  и  B происходит по крайней мере одно, называется суммой событий  A  и  B .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]