Алгебра (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно дополнения и объединения.

Содержание

1 Определение
2 Замечания
3 Алгебра событий
4 См. также

[править] Определение

Семейство $\mathfrak{A} \subset 2^{X}$ подмножеств множества $X$ называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

$\mathfrak{A}$ содержит пустое множество $\emptyset$ .
Если $A\in \mathfrak{A}$ , то и его дополнение $X\setminus A\in\mathfrak{A}.$
Объединение двух множеств $A,B\in \mathfrak{A}$ также принадлежит $\mathfrak{A}.$

[править] Замечания

В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
Если исходное множество $X$ является пространством элементарных событий, то алгебра $\mathfrak{A}$ называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

[править] Алгебра событий

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий $Ω$ , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

алгебра конечных подмножеств $Ω$ ;
сигма-алгебра счётных подмножеств $Ω$ ;
алгебра подмножеств ${\mathbb{R}}^n$ , образованная конечными объединениями интервалов;
сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства $Ω$ , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества $Ω$ ;
алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности $\mathbf{P}$ . Если $\mathbf{P} (x)=0$ , то событие $x \subseteq \Omega$ называется невозможным событием; если $\mathbf{P}(x)=1$ , то событие $x \subseteq \Omega$ называется достоверным событием;

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

[править] См. также

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Алгебра (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение

[править] Замечания

[править] Алгебра событий

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках