Алгоритм Борувки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгори́тм Бору́вки — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком, Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным ученым из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе по параллельным вычислениям.

Алгоритм[править | править исходный текст]

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

В псевдокоде, алгоритм можно описать так:

  1. Изначально, пусть T — пустое множество ребер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
  2. Пока T не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в T меньше, чем V - 1, где V — число вершин в графе):
    • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами T, найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
    • Добавим все найденные рёбра в множество T.
  3. Полученное множество рёбер T является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритма[править | править исходный текст]

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более O(\log V) итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью O(E), поэтому общее время работы алгоритмы составляет O(E \log V) времени (здесь V и E — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до O(E).[1] Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Eppstein, David (1999), "Spanning trees and spanners", in Sack, J.-R. & Urrutia, J., «Handbook of Computational Geometry», Elsevier, сс. 425–461 ; Mareš, Martin (2004), "«Two linear time algorithms for MST on minor closed graph classes»", Archivum mathematicum Т. 40 (3): 315–320, <http://www.emis.de/journals/AM/04-3/am1139.pdf> .