Алгоритм Грэхема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Грэхема — алгоритм построения выпуклой оболочки в двумерном пространстве. В этом алгоритме задача о выпуклой оболочке решается с помощью стека, сформированного из точек-кандидатов. Все точки входного множества заносятся в стек, а потом точки, не являющиеся вершинами выпуклой оболочки, со временем удаляются из него. По завершении работы алгоритма в стеке остаются только вершины оболочки в порядке их обхода против часовой стрелки.

Алгоритм[править | править вики-текст]

В качестве входных данных процедуры Graham выступает множество точек Q, где |Q|\geqslant 3. В ней вызывается функция Top(S), которая возвращает точку, находящуюся на вершине стека S, не изменяя при этом его содержимое. Кроме того, используется также функция NextToTop(S), которая возвращает точку, расположенную в стеке S, на одну позицию ниже от верхней точки; стек S при этом не изменяется.

Graham(Q)
1) Пусть p_0 — точка из множества Q с минимальной координатой y или самая левая из таких точек при наличии совпадений
2) Пусть <p_1, p_2,\ldots,p_m> — остальные точки множества Q, отсортированные в порядке возрастания полярного угла,
      измеряемого против часовой стрелки относительно точки p_0 
     (если полярные углы нескольких точек совпадают, то по расстоянию до точки p_0)
3) Push(p_0,S)
4) Push(p_1,S)
5) for i = 2 to m do
6)     while угол, образованный точками NextToTop(S),Top(S) и p_i, образуют не левый поворот
            (при движении по ломаной, образованной этими точками, мы движемся прямо или вправо)
7)       do Pop(S)
8)    Push(p_i,S)
9) return S

Для определения, образуют ли три точки a, b и c левый поворот, можно использовать обобщение векторного произведения на двумерное пространство, а именно условие левого поворота будет выглядеть следующим образом: u_x v_y - u_y v_x > 0, где  u = \left\{ b_x - a_x, \; b_y - a_y \right\},
v = \left\{ c_x - a_x, \; c_y - a_y \right\}

Корректность сканирования по Грэхему[править | править вики-текст]

Если процедура Graham обрабатывает множество точек Q, где |Q|\geqslant 3, то по завершении этой процедуры стек S будет содержать (в направлении снизу вверх) только вершины оболочки CH(Q) в порядке обхода против часовой стрелки.

Доказательство[править | править вики-текст]

После выполнения строки 2 в нашем распоряжении имеется последовательность точек <p_1, p_2,\ldots,p_m>. Определим подмножество точек Q_i = \left\{p_0,p_1,\ldots,p_i\right\} при i = 2,3,…,m. Множество точек Q — Q_m образуют те из них, что были удалены из-за того, что их полярный угол относительно точки p0 совпадает с полярным углом некоторой точки из множества Q_m. Эти точки не принадлежат выпуклой оболочке CH(Q), так что CH(Q_m) = CH(Q). Таким образом, достаточно показать, что по завершении процедуры Graham стек S состоит из вершин оболочки CH(Q_m) в порядке обхода против часовой стрелки, если эти точки просматриваются в стеке снизу вверх. Заметим, что точно так же, как точки p_0,p_1,p_m являются вершинами оболочки CH(Q), точки p_0,p_1,p_i являются вершинами оболочки CH(Q_i).

В доказательстве используется сформулированный ниже инвариант цикла. В начале каждой итерации цикла for в строках 6-9 стек S состоит(снизу вверх) только из вершин оболочки CH(Q_{i-1} ) в порядке их обхода против часовой стрелки.

Инициализация. При первом выполнении строки 6 инвариант поддерживается, поскольку в этот момент стек S состоит только из вершин Q_2 = Q_{i-1} , и это множество трех вершин формирует свою собственную выпуклую оболочку. Кроме того, если просматривать точки снизу вверх, то они будут расположены в порядке обхода против часовой стрелки.

Сохранение. При входе в новую итерацию цикла for вверху стека S находится точка p_{i-1} , помещенная туда в конце предыдущей итерации (или перед первой итерацией, когда i = 3). Пусть p_j — верхняя точка стека S после выполнения строк 7-8 цикла while, но перед тем, как в строке 9 в стек будет помещена точка p_i. Пусть также p_k — точка, расположенная в стеке S непосредственно под точкой p_j. В тот момент, когда точка p_j находится наверху стека S, а точка p_i ещё не добавлена, стек содержит те же точки, что и после j-й итерации цикла for. Поэтому, согласно инварианту цикла, в этот момент стек S содержит только CH(Q_j) в порядке их обхода против часовой стрелки, если просматривать их снизу вверх. Полярный угол точки p_i относительно точки p_0 больше, чем полярный угол точки p_j, и поскольку угол p_kp_jp_i сворачивает влево(в противном случае точка p_j была бы снята со стека), после добавления в стек S точки p_i (до этого там были только вершины CH(Q_j)) в нем будут содержаться вершины CH(Q_j \cup \left\{p_i\right\}). При этом они будут расположены в порядке обхода против часовой стрелки, если просматривать их снизу вверх.

Покажем, что множество вершин CH(Q_j \cup \left\{p_i\right\}) совпадает с множеством точек CH(Q_i). Рассмотрим произвольную точку p_t, снятую со стека во время выполнения i-й итерации цикла for, и пусть p_r — точка, расположенная в стеке S непосредственно под точкой p_t перед снятием со стека последней(этой точкой pr может быть точка p_j). Угол p_rp_tp_i не сворачивает влево, и полярный угол точки p_t относительно точки p_0 больше полярного угла точки p_r. Так как точка p_t находится внутри треугольника, образованного тремя другими точками множества Q_i, она не может быть вершиной CH(Q_i). Так как p_t не является вершиной CH(Q_i), то CH(Q_i — {p_t}) = CH(Q_i). Пусть P_i — множество точек, снятых сто стека во время выполнения i-ой итерации цикла for. Верно равенство CH(Q_i — P_i) = CH(Q_i). Однако Q_i — P_i = Q_i \cup {p_i}, поэтому мы приходим к заключению, что CH(Q_j \cup {p_i}) = CH(Q_i — P_i) = CH(Q_i).

Сразу после вытеснения из стека S точки p_i в нем содержатся только вершины CH(Q_i) в порядке их обхода против часовой стрелки, если просматривать их в стеке снизу вверх. Последующее увеличение на единицу значения i приведет к сохранению инварианта цикла в очередной итерации.

Завершение. По завершении цикла выполняется равенство i = m + 1, поэтому из инварианта цикла следует, что стек S состоит только из вершин CH(Q_m), то есть из вершин CH(Q). Эти вершины расположены в порядке обхода против часовой стрелки, если они просматриваются в стеке снизу вверх.

Время работы[править | править вики-текст]

Время работы процедуры Graham равно O(n lg n), где n = |Q|. Как несложно показать, циклу while потребуется время O(n). В то время, как сортировка полярных углов займет O(n lg n) времени, откуда и следует общая асимптотика процедуры Graham.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e изд. — “Вильямс”, 2005.

Ссылки[править | править вики-текст]