Алгоритм Дейкстры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 30 июня 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 3 правки.

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритмы поиска на графах
A* B* Поиск в ширину Поиск в глубину Алгоритм Дейкстры Двунаправленный поиск Поиск с ограничением глубины Поиск по первому наилучшему совпадению

Алгори́тм Де́йкстры — алгоритм на графах, изобретенный Э. Дейкстрой. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса. Алгоритм широко применяется в программировании и технологиях, например, его использует протокол OSPF для устранения кольцевых маршрутов. Известен также под названием кратчайший путь — первый (Shortest Path First).^{[уточнить]}

Содержание

1 Формулировка задачи
- 1.1 Неформальное определение
- 1.2 Формальное определение
2 Неформальное объяснение
- 2.1 Пример
3 Алгоритм
4 См. также
5 Ссылки
6 Литература

[править] Формулировка задачи

[править] Неформальное определение

Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города Новосибирской области. Найти кратчайшие пути от Новосибирска до каждого города области (если двигаться можно только по дорогам).

Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.

[править] Формальное определение

Дан простой взвешенный граф $G (V, E)$ без петель и дуг отрицательного веса. Найти кратчайшие пути от некоторой вершины $a$ графа $G$ до всех остальных вершин этого графа.

[править] Неформальное объяснение

Каждой вершине из V сопоставим метку — минимальное известное расстояние от этой вершины до a. Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он «посещает» одну вершину и пытается уменьшать метки. Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены.

Инициализация. Метка самой вершины a полагается равной 0, метки остальных вершин — бесконечности. Это отражает то, что расстояния от a до других вершин пока неизвестны. Все вершины графа помечаются как непосещенные.

Шаг алгоритма. Если все вершины посещены, алгоритм завершается. В противном случае из ещё не посещенных вершин выбирается вершина u, имеющая минимальную метку. Мы рассматриваем всевозможные маршруты, в которых u является предпоследним пунктом. Вершины, соединенные с вершиной u ребрами, назовем соседями этой вершины. Для каждого соседа рассмотрим новую длину пути, равную сумме текущей метки u и длины ребра, соединяющего u с этим соседом. Если полученная длина меньше метки соседа, заменим метку этой длиной. Рассмотрев всех соседей, пометим вершину u как посещенную и повторим шаг.

[править] Пример

Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного на рисунке. Пусть требуется найти расстояния от 1-й вершины до всех остальных.

Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (ребра графа). В кружках обозначены номера вершин, над ребрами обозначена их «цена» — длина пути. Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.

Первый шаг. Рассмотрим шаг алгоритма Дейкстры для нашего примера. Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6.

Первый по очереди сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна. Длина пути в неё через вершину 1 равна кратчайшему расстоянию до вершины 1 + длина ребра, идущего из 1 в 2, то есть 0 + 7 = 7. Это меньше текущей метки вершины 2, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.

Аналогичную операцию проделываем с двумя другими соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.

Все соседи вершины 1 проверены. Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и пересмотру не подлежит (то, что это действительно так, впервые доказал Дейкстра). Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.

Второй шаг. Шаг алгоритма повторяется. Снова находим «ближайшую» из непосещенных вершин. Это вершина 2 с меткой 7.

Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю. Соседями вершины 2 являются 1, 3, 4.

Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.

Следующий сосед вершины 2 — вершина 3. Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет = 7 + 10 = 17. Но текущая метка третьей вершины равна 9<17, поэтому метка не меняется.

Ещё один сосед вершины 2 — вершина 4. Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет = кратчайшее расстояние до 2 + расстояние между вершинами 2 и 4 = 7 + 15 = 22. Поскольку 22< $\infty$ , устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем её как посещенную.

Третий шаг. Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим такие результаты:

Дальнейшие шаги. Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин (Это будут по порядку 6, 4 и 5).

Завершение выполнения алгоритма. Алгоритм заканчивает работу, когда вычеркнуты все вершины. Результат его работы виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.

[править] Алгоритм

[править] Обозначения

$V$ — множество вершин графа
$E$ — множество ребер графа
$w [i j]$ — вес (длина) ребра $i j$
$a$ — вершина, расстояния от которой ищутся
$U$ — множество посещенных вершин
$d [u]$ — по окончании работы алгоритма равно длине кратчайшего пути из $a$ до вершины $u$
$p [u]$ — по окончании работы алгоритма содержит кратчайший путь из $a$ в $u$

[править] Псевдокод

Присвоим $d[a] \gets 0,\ p[a] \gets a$

Для всех $u \in V$ отличных от $a$

присвоим $d[u] \gets \infty$

Пока $\exists v \notin U$ c $d[v] < \infty$

Пусть $v \notin U$ — вершина с минимальным

d [v]

Добавим вершину

v

к

U

Для всех $u \notin U$ таких, что $vu \in E$

если

d [u] > d [v] + w [v u]

то

изменим $d[u] \gets d[v] + w [vu]$

изменим $p[u] \gets p[v], u$

[править] Описание

В простейшей реализации для хранения чисел d[i] можно использовать массив чисел, а для хранения принадлежности элемента множеству U — массив булевых переменных.

В начале алгоритма расстояние для начальной вершины полагается равным нулю, а все остальные расстояния заполняются большим положительным числом (бо́льшим максимального возможного пути в графе). Массив флагов заполняется нулями. Затем запускается основной цикл.

На каждом шаге цикла мы ищем вершину с минимальным расстоянием и флагом равным нулю. Затем мы устанавливаем в ней флаг в 1 и проверяем все соседние с ней вершины. Если в ней расстояние больше, чем сумма расстояния до текущей вершины и длины ребра, то уменьшаем его. Цикл завершается когда флаги всех вершин становятся равны 1, либо когда у всех вершин c флагом 0 $d[i] = \infty$ . Последний случай возможен, если и только если граф G несвязан.

[править] Сложность алгоритма

Сложность алгоритма Дейкстры зависит от способа нахождения вершины v, а также способа хранения множества непосещенных вершин и способа обновления меток. Обозначим через n количество вершин, а через m — количество ребер в графе G.

В простейшем случае, когда для поиска вершины с минимальным d[v] просматривается все множество вершин, а для хранения величин d — массив, время работы алгоритма есть $O (n 2 + m)$ . Основной цикл выполняется порядка n раз, в каждом из них на нахождение минимума тратится порядка n операций, плюс количество релаксаций (смен меток), которое не превосходит количества ребер в исходном графе.

Для разреженных графов (то есть таких, для которых m много меньше n²) непосещенные вершины можно хранить в двоичной куче, а в качестве ключа использовать значения d[i], тогда время извлечения вершины из $\overline U$ станет $log n$ , при том, что время модификации $d [i]$ возрастет до $log n$ . Так как цикл выполняется порядка n раз, а количество релаксаций не больше m, скорость работы такой реализации $O (n log n + m log n)$

Если для хранения непосещенных вершин использовать фибоначчиеву кучу, для которой удаление происходит в среднем за $O (log n)$ , а уменьшение значения в среднем за $O (1)$ , то время работы алгоритма составит $O (n log n + m)$

[править] См. также

Алгоритм Дейкстры с потенциалами — обобщение на случай графов с рёбрами отрицательного веса
Алгоритм Флойда — Уоршелла

[править] Ссылки

[править] Литература

E. W. Dijkstra. A note on two problems in connexion with graphs. // Numerische Mathematik. V. 1 (1959), P. 269–271
Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
Ананий В. Левитин Глава 9. Жадные методы: Алгоритм Дейкстры // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 189—195. — ISBN 0-201-74395-7

Алгоритм Дейкстры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Формулировка задачи

[править] Неформальное определение

[править] Формальное определение

[править] Неформальное объяснение

[править] Пример

[править] Алгоритм

[править] Обозначения

[править] Псевдокод

[править] Описание

[править] Сложность алгоритма

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках