Алгоритм Евклида

Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

История

Древнегреческие математики называли этот алгоритм ἀνθυφαίρεσις или ἀνταναίρεσις — «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока (Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям) попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величины в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть a и b — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

$a > b > r_1 > r_2 > r_3 > r_4 > \cdots >r_n$

определена тем, что каждое r_k — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

a = bq₀ + r₁

b = r₁q₁ + r₂

r₁ = r₂q₂ + r₃

$\cdots$

r_{k − 2} = r_{k − 1}q_{k − 1} + r_k

$\cdots$

r_{n − 1} = r_nq_n

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких r₁,r₂,..., то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого $n\ne 0$, доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

• Пусть a = bq + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

Доказательство  

1. Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда a = t₁ * k ; b = t₂ * k; где t₁ и t₂ — целые числа из определения.
2. Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а r = a − bq = (t₁ − t₂ * q) * k (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка)
3. Обратное также верно и доказывается аналогично пункту 2 - любой делитель b и r так же является делителем a и b.
4. Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот.
5. Максимальные общие делители пар a,b и b,r также совпадают, так как если какое-либо целое число k является наибольшим общим делителем пары a,b, то пара b,r большего общего делителя, чем k, также иметь не может, поскольку a > b > r. Что и требовалось доказать.

• НОД(0,r) = r для любого ненулевого r (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа a и b и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим знаменатель меньше чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q₀ = 2), оставаясь с остатком 147

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим знаменатель меньше чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q₁ = 3), оставаясь с остатком 21.

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим знаменатель меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q₂ = 7), оставаясь без остатка.

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071>462>147>21

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462)=21.

В табличной форме, шаги были следующие

Шаг k	Равенство	Частное и остаток
0	1071 = q0 462 + r0	q0 = 2 и r0 = 147
1	462 = q1 147 + r1	q1 = 3 и r1 = 21
2	147 = q2 21 + r2	q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается

Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу

Формулы для r_i могут быть переписаны следующим образом:

r₁ = a + b( − q₀)

r₂ = b − r₁q₁ = a( − q₁) + b(1 + q₁q₀)

$\vdots$

НОД (a,b) = r_n = as + bt

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

Отношение a / b допускает представление в виде цепной дроби:

$\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n]$.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу t / s, взятому со знаком минус:

$[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts$.

Последовательность равенств, задающая алгоритм Евклида может быть переписана в форме

$\begin{align} \frac{a}{b} &= q_0 + \frac{r_0}{b} \\ \frac{b}{r_0} &= q_1 + \frac{r_1}{r_0} \\ \frac{r_0}{r_1} &= q_2 + \frac{r_2}{r_1} \\ & {}\ \vdots \\ \frac{r_{k-2}}{r_{k-1}} &= q_k + \frac{r_k}{r_{k-1}} \\ & {}\ \vdots \\ \frac{r_{N-2}}{r_{N-1}} &= q_N \end{align}$

Последнее слагаемое в правой части равенства всегда равно обратному значению левой части следующего уравнения. Поэтому первые два уравнения могут быть объедены в форме

$\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{r_1}{r_0}}$

Третье равенство может быть использовано чтобы заменить знаменатель выражения r₁/r₀, получим

$\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{r_2}{r_1}}}$

Последнее отношение остатков r_k/r_k−1 всегда может быть заменено используя следующее равенство в последовательности, и так до последнего уравнения. Результатом является цепная дробь

$\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{q_N}}}} = [ q_0; q_1, q_2, \ldots , q_N ]$

В приведённом выше примере, НОД(1071, 462) было посчитано и были найдены частные q_k 2,3 и 7 соответственно. Поэтому, 1071/462 может быть записана как

$\frac{1071}{462} = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7}} = [2; 3, 7]$

Вариации и обобщения

• Кольца, в которых применим алгоритм Евклида, называются евклидовыми кольцами. К ним относятся, в частности, кольца многочленов.

Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов

Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида естественным образом обобщается на кольцо многочленов k[x] от одной переменной над произвольным полем k, поскольку для таких многочленов определена операция деления с остатком. При выполнении алгоритма Евклида для многочленов аналогично алгоритму Евклида для целых чисел, получается последовательность полиномиальных остатков (PRS).

Пример для кольца Z[x]

Пусть cont(f) по определению — НОД коэффициентов многочлена f(x) из Z[x] — содержание многочлена. Частное от деления f(x) на cont(f) называется примитивной частью многочлена f(x) и обозначается primpart(f(x)).

эти определения понадобятся для нахождения НОД двух многочленов p1(x) и p2(x) в кольце Z[x]. Для многочленов над целыми числами верно следующее:

cont(НОД{p1(x),p2(x)}) = НОД{cont(p1(x)),con(p2(x))}, primpart(НОД{p1(x),p2(x)}) = НОД{primpart(p1(x)),primpart(p2(x))}.

Таким образом задача отыскания НОД двух произвольных многочленов сводится к задаче отыскания НОД примитивных полиномов.

Пусть есть два примитивных многочлена p1(x) и p2(x) из Z[x], для которых выполняется соотношение между их степенями: deg(p1(x)) = m и deg(p2(x)) = n, m > n. Деление многочленов с остатком предполагает точную делимость старшего коэффициента делимого на старший коэффициент делителя, в общем случае деление с остатком выполнить невозможно. Поэтому вводят алгоритм псевдоделения, который всё же позволяет получить псевдочастное и псевдоостаток (prem), которые будут сами по себе принадлежать множеству многочленов над целыми числами.

Под псевдоделением будем понимать, что самому делению предшествует умножение полинома p1(x) на (lc(p2(x)))^{m − n + 1}, то есть lc(p2(x))^{m − n + 1}p₁(x) = p₂(x)q(x) + r₂(x), deg(r(x)) < deg(p₂(x)), где q(x) и r(x) — соответственно псевдочастное и псевдоостаток.

Итак, $p_1(x),p_2(x) \in Z[x]$ — (принадлежат кольцу многочленов над целыми числами), причём $\deg(p_1) = n_1 \geq \deg(p_2) = n_2$. Тогда алгоритм Евклида состоит из следующих шагов:

1. Вычисление НОД содержаний:

c: = НОД{cont(p₁),cont(p₂)}.

2. Вычисление примитивных частей:

p₁'(x): = cont(p₁(x)); p₂'(x): = cont(p₂(x)).

3. Построение последовательности полиномиальных остатков:

p₁'(x),

p₂'(x),

p₃(x): = prem(p₁'(x),p₂'(x)),

p₄(x): = prem(p₂'(x),p₃(x)),

p₅(x): = prem(p₃(x),p₄(x)),

...,

p_h(x): = prem(p_{h − 2}(x),p_{h − 1}(x)).

4. Выход и возврат результата:

Если deg(p_h(x)) = 0, то вернуть c, иначе вернуть c: = c * p_h(x).

Ускоренные версии алгоритма

• Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:

$r_i \equiv r_{i-2} \pmod{r_{i-1}},$

где

$-\frac{r_{i-1}}{2}\leq r_i\leq\frac{r_{i-1}}{2}.$

• Одна из версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

См. также

• Бинарный алгоритм вычисления НОД
• Евклидово кольцо
• Непрерывная дробь

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел.
• Курант Р., Роббинс Г. Дополнение к главе I, § 4. // Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп.. — М., 2001. — 568 с.
• Абрамов С. Самый знаменитый алгоритм // Квант. — 1985. — № 11. — С. 44—46.
• Щетников А. И. Алгоритм Евклида и непрерывные дроби — Новосибирск: АНТ, 2003.
• Fowler D. H. The Mathematics of Plato’s Academy: a new reconstruction — 2nd. — Clarendon Press, 1999.
• von zur Gathen J., Gerhard J. Modern Computer Algebra. — ISBN 0-521-82646-2.
• Панкратьев Е. В. Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков // intuit.ru.
• Обоснование алгоритма Евклида
• Алгоритм Евклида на e-maxx.ru