Алгоритм Робинсона — Шенстеда

Алгоритм Робинсона — Шенстеда — комбинаторный алгоритм, впервые описанный Робинсоном в 1938, который устанавливает биективное соответствие между элементами симметрической группы $S_{n}$ и парами стандартных таблиц Юнга той же формы. Он может рассматриваться как простое конструктивное доказательство тождества

$\sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!$

где $\lambda \vdash n$ означает, что $\lambda$ пробегает все разбиения $n$ и $f^{\lambda }$ — количество стандартных диаграмм Юнга формы $\lambda$. Это достигается путём построения отображения из пар $\lambda$-таблиц $(P,Q)$ в перестановки $\sigma$.

Алгоритм

Алгоритм Робинсона — Шенстеда начинает работу с перестановки $\sigma$, записанной в лексикографическом порядке:

${\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\cdots &\sigma _{n}\end{pmatrix}}$

где $\sigma (i)=\sigma _{i}$, и продолжает, создавая последовательность упорядоченных пар таблиц Юнга той же формы:

$(P_{0},Q_{0}),(P_{1},Q_{1}),(P_{2},Q_{2}),\ldots ,(P_{n},Q_{n}),$

где $P_{0}=Q_{0}=\varnothing$ — пустые таблицы. На выходе получаются таблицы $P=P_{n}$ и $Q=Q_{n}$.

На основе построенной $P_{i-1}$ формируется $P_{i}$ путём вставки Шенстеда (см. ниже) $\sigma (i)$ в $P_{i-1}$. К $Q_{i}$ добавляется $i$ в квадрат, добавленный к форме при вставке, чтобы формы для $P_{i}$ и $Q_{i}$ были одинаковы для каждого $i$. Таким образом, стандартная таблица $P$ записывает перестановку, а $Q$ — регистрирует «рост» диаграммы Юнга.

Вставка (4):
• (4) заменяет (5) в первой строке
• (5) заменяет (8) во второй строке
• (8) записывается в начало новой строки

Неформальное описание вставки Шенстеда

Для вставки строки $x$ в таблицу $T$:

   1. сделать первую строку T текущей
   2. в текущей строке найти первый элемент, который больше x
   3. если такой элемент найден
        обменять значения x и найденной ячейки
        сделать следующую строку текущей
        перейти на шаг 2.
      иначе:
        добавить x к концу текущей строки
        закончить

Вариации и обобщения

• Шенстед независимо обнаружил алгоритм и обобщил его для случая $\sigma$ — любая последовательность из $n$ чисел (то есть, возможно, с повторениями). В этом случае $P$ является полустандартной.
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда — Кнута был разработан Кнутом и устанавливает биективное соответствие между обобщенными перестановками (двустрочные массивы лексикографически упорядоченных положительных целых чисел) и парами полустандартных таблиц Юнга.

Литература

• Живые числа. — Сб. статей 1981. — М.: Мир, 1985. — С. 105-112. — 128 с.
• Уильям Фултон. Таблицы юнга и их приложения к теории представлений и геометрии = Young Tableaux With Application to Representation Theory and Geometry. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — ISBN 5-94057-165-4.
• Knuth, Donald E. Permutations, matrices, and generalized Young tableaux (англ.).
• Robinson, G. de B. On the Representations of the Symmetric Group (англ.) // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1938. — Vol. 60, no. 3. — P. 745–760. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2371609.
• Schensted, C. Longest increasing and decreasing subsequences (англ.) // Canadian Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 13. — P. 179-191. — ISSN 0008-414X.
• Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Vol. 2 (англ.). — Cambridge University Press, 1999. — Vol. 62.
• Zelevinsky, A. V. A generalization of the Littlewood–Richardson rule and the Robinson–Schensted–Knuth correspondence (англ.) // Journal of Algebra. — 1981. — Vol. 69, no. 1. — P. 82-94. — ISSN 0021-8693. — doi:10.1016/0021-8693(81)90128-9.