Алгоритм Флойда — Уоршелла

Алгоритм Флойда — Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом, хотя в 1959 году Бернард Рой (Bernard Roy) опубликовал практически такой же алгоритм, но это осталось незамеченным.

Алгоритм

Пусть вершины графа $G=(V,\; E),\; |V| = n$ пронумерованы от 1 до $n$ и введено обозначение $d_{i j}^{k}$ для длины кратчайшего пути от $i$ до $j$, который кроме самих вершин $i,\; j$ проходит только через вершины $1 \ldots k$. Очевидно, что $d_{i j}^{0}$ — длина (вес) ребра $(i,\;j)$, если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как $\infty$).

Существует два варианта значения $d_{i j}^{k},\;k \in \mathbb (1,\;\ldots,\;n)$:

1. Кратчайший путь между $i,\;j$ не проходит через вершину $k$, тогда $d_{i j}^{k}=d_{i j}^{k-1}$
2. Существует более короткий путь между $i,\;j$, проходящий через $k$, тогда он сначала идёт от $i$ до $k$, а потом от $k$ до $j$. В этом случае, очевидно, $d_{i j}^{k}=d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1}$

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Тогда рекуррентная формула для $d_{i j}^k$ имеет вид:

$d_{i j}^0$ — длина ребра $(i,\;j);$

$d_{i j}^{k} = \min (d_{i j}^{k-1},\; d_{i k}^{k-1} + d_{k j}^{k-1}).$

Алгоритм Флойда-Уоршелла последовательно вычисляет все значения $d_{i j}^{k},$ $\forall i,\; j$ для $k$ от 1 до $n$. Полученные значения $d_{i j}^{n}$ являются длинами кратчайших путей между вершинами $i,\; j.$

Псевдокод

На каждом шаге алгоритм генерирует матрицу $W,$ $w_{ij}=d_{i j}^n.$ Матрица $W$ содержит длины кратчайших путей между всеми вершинами графа. Перед работой алгоритма матрица $W$ заполняется длинами рёбер графа.

for k = 1 to n
  for i = 1 to n
    for j = 1 to n
      W[i][j] = min(W[i][j], W[i][k] + W[k][j])

Сложность алгоритма

Три вложенных цикла содержат операцию, исполняемую за константное время. $\sum_{n,\;n,\;n}O(1) = O(n^3),$ то есть алгоритм имеет кубическую сложность, при этом простым расширением можно получить также информацию о кратчайших путях — помимо расстояния между двумя узлами записывать в матрицу идентификатор первого узла в пути.

Вариации алгоритма

Построение матрицы достижимости

Алгоритм Флойда-Уоршелла может быть использован для нахождения замыкания отношения $E$ по транзитивности. Для этого в качестве W[0] используется бинарная матрица смежности графа, $({w^0}_{i j})_{n \times n} = 1 \Leftrightarrow (i,\; j) \in E$; оператор min заменяется дизъюнкцией, сложение заменяется конъюнкцией:

for k = 1 to n
  for i = 1 to n
    for j = 1 to n
      W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])

После выполнения алгоритма матрица W является матрицей достижимости.

Использование битовых масок при реализации алгоритма позволяет существенно ускорить алгоритм. При этом сложность алгоритма снижается до $O(n^3 / k)$, где $k$ — длина битовой маски (в модели вычислений RAM). На практике, ещё бо́льшего ускорения можно достичь, используя такие специализированные наборы микропроцессорных команд, как SSE.

Литература

• Ананий В. Левитин Глава 8. Динамическое программирование: Алгоритм Флойда поиска кратчайших путей между всеми парами вершин // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. — М.: Вильямс, 2006. — С. 349 — 353. — ISBN 0-201-74395-7
• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1