Алгоритм Фюрера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Фюрера (англ. Fürer’s algorithm) — быстрый метод умножения больших целых чисел. Алгоритм был построен в 2007 году швейцарским математиком Мартином Фюрером[1] из университета штата Пенсильвания как асимптотически более быстрый алгоритм, чем его предшественник, алгоритм Шёнхаге — Штрассена, опубликованный в 1971 году.[2] Задача быстрого умножения больших чисел представляет большой интерес в области криптоанализа открытых систем.

Предшественник алгоритма Фюрера, алгоритм Шёнхаге — Штрассена, использовал быстрое преобразование Фурье для умножения больших чисел за время O \left( n \log n \log \log n \right), однако его авторы, Арнольд Шёнхаге (нем. Arnold Schönhage) и Фолькер Штрассен, сделали предположение о существовании алгоритма, способного решить проблему перемножения больших чисел за O \left( n \log n \right). Алгоритм Фюрера[1] заполнил промежуток между этими границами: он может быть использован, чтобы перемножить числа за время n \log n\,2^{O(\log^* n)}, где \log^* n — итерированный логарифм числа n. Однако разница по времени между алгоритмами становится заметной при очень больших перемножаемых числах (больше 50 000 значащих цифр).

В 2008 году Аниндая Де, Шэнден Саха, Пьюш Курур и Рампрасад Саптхариши построили похожий алгоритм, основанный на модульной, а не комплексной арифметике, достигнув при этом такого же времени работы.[3]

Теория[править | править исходный текст]

Свертка[править | править исходный текст]

Допустим, что мы перемножаем числа 123 и 456 «в столбик», однако без выполнения переноса. Результат будет выглядеть так:

1 2 3
× 4 5 6

6 12 18
5 10 15
4 8 12

4 13 28 27 18

Эта последовательность (4, 13, 28, 27, 18) называется ациклической или линейной свёрткой от последовательностей (1,2,3) и (4,5,6). Зная ациклическую свёртку двух последовательностей, рассчитать произведение несложно: достаточно выполнить перенос (например, в самом правом столбце, мы оставляем 8 и добавляем 1 к столбцу, содержащему 27). В нашем примере это приводит к результату 56088.

Есть и другие типы свёрток, которые могут быть полезны. Допустим, что входящие последовательности содержат n элементов (в примере — 3). Тогда результирующая линейная свёртка содержит n + n − 1 элементов; если мы возьмём самый правый столбец n элементов и добавим самый левый стоблец n − 1 ', в результате мы получим циклическую свёртку:

28 27 18
+ 4 13

28 31 31

Если мы произведём перенос при циклическом свёртывании, результат будет тот же, что и при произведении чисел по модулю Bn − 1 (в данном примере это 103 − 1 = 999). Выполним перенос по (28, 31, 31) и получим 3141, при этом 3141 ≡ 56088 (mod 999).

Наоборот, если мы возьмём самый правый столбец n элементов и вычтем самый левый столбец n−1 элементов, то в результате мы получим обратную свёртку:

28 27 18
4 13

28 23 5

Если мы произведём перенос при обратном свёртывании, то результат будет тот же, что и при произведении чисел по модулю Bn + 1. В данном примере, 103 + 1 = 1001, выполним перенос по (28, 23, 5) и получим 3035, при этом 3035 ≡ 56088 (mod 1001). Обратная свёртка может содержать отрицательные числа, которые могут быть убраны во время переноса, используя ту же технику, что и при длинных вычитаниях.

Теорема о свёртке[править | править исходный текст]

Как и другие методы, основанные на быстром преобразовании Фурье, алгоритм Фюрера в корне зависит от теоремы о свёртке, которая обеспечивает эффективный способ посчитать циклическую свёртку двух последовательностей. Её идея состоит в следующем:

Циклическая свёртка двух векторов может быть найдена через дискретное преобразование Фурье (ДПФ) каждого из них, путём произведения результирующих векторов элемент за элементом, с последующим обратным преобразованием Фурье (ОДПФ).

Или через формулы:

CyclicConvolution(X, Y) = IDFT(DFT(X) · DFT(Y)), где:
CyclicConvolution — циклическая свертка,
DFT — дискретное преобразование Фурье,
IDFT — обратное дискретное преобразование Фурье.

Если мы посчитаем ДПФ и ОДПФ, используя быстрое преобразование Фурье, и вызовем наш алгоритм перемножения рекурсивно, чтобы перемножить входы(?) преобразованных векторов DFT(X) и DFT(Y), то в результате мы получим эффективный алгоритм для расчёта циклической свёртки.

В этом алгоритме, гораздо эффективней считать обратную циклическую свёртку; как оказывается, немного модифицированная версия теоремы о свёртке может позволить и это. Предположим, что вектора X и Y имеют длину n, и a — примитивный корень порядка 2n (это означает, что a2n = 1 и все меньшие степени a не равны 1). Таким образом мы можем определить третий вектор A, называемый вектор веса, обладающий следующими свойствами:

Операция «бабочка».
A = (aj), 0 ≤ j < n
A−1 = (a−j), 0 ≤ j < n

Теперь мы можем записать:

NegacyclicConvolution(X, Y) = A−1 · IDFT(DFT(A · X) · DFT(A · Y)), где
NegacyclicConvolution — Обратная циклическая сертка,
DFT — дискретное преобразование Фурье,
IDFT — обратное дискретное преобразование Фурье.

Другими словами, это то же самое за исключением того, что входящие векторы умножены на A, а результат умножен на A−1.

Выбор кольца[править | править исходный текст]

Дискретное преобразование Фурье — абстрактная операция, которая может быть выполнена в любом алгебраическом кольце; обычно оно берётся из поля комплексных чисел, но фактически использовать комплексную арифметику с достаточной точностью, чтобы обеспечить точные результаты, медленно и неэффективно. Вместо этого мы можем использовать теоретико-числовое преобразование, которое производит преобразование в поле целых чисел по модулю N для некоторого целого N.

Так же как есть примитивные корни единицы любого порядка на комплексной плоскости, при любом заданном n мы можем выбрать подходящее N такое, что b — примитивный корень единицы порядка n в поле целых чисел по модулю N (другими словами, bn ≡ 1 (mod N), и все меньшие степени b не равны 1 mod N).

Алгоритм тратит большую часть времени на рекурсивное выполнение произведения меньших чисел; в простом варианте алгоритма это происходит в ряде мест:

  1. Внутри алгоритма быстрого преобразования Фурье, примитивный корень единицы b неоднократно возводится в степень и умножается на другие числа.
  2. При возведении в степень примитивного корня единицы a для получения вектора веса A с последующим умножением векторов A или A−1 на другие вектора.
  3. При выполнении последовательного перемножения преобразованных векторов.

Ключевой момент — выбрать N, модуль, равный 2n + 1 для некоторого целого n. У этого способа есть ряд преимуществ в ряде стандартных систем, в которых большие целые числа представлены в двоичном виде:

  • Любое число может быть быстро уменьшено по модулю 2n + 1 используя только сдвиг и сложение.
  • Любые примитивные корни единицы в этом кольце могут быть записаны в форме 2k; соответственно мы можем умножать или делить любое число на корень из единицы используя сдвиг.
  • Поэлементное рекурсивное перемножение преобразованный векторов может быть выполнено, используя обратную свёртку, которая работает быстрее, чем ациклическая свёртка, и в которой уже есть уменьшение результата по модулю 2n + 1.

Отличие от предшественника[править | править исходный текст]

Главное отличие от предшественника — многократное выполнение компрессии числа, которое даёт вычислительную сложность 2^{O(\log^* n)} в отличие от однократного использования в алгоритме Шёнхаге — Штрассена, которое даёт сложность n \log n\log \log n

Структура алгоритма[править | править исходный текст]

Произведение целых чисел

Произведение целых чисел по модулю
Разложение
БПФ
Покомпонентное произведение
Обратное БПФ
Композиция результата

См. также[править | править исходный текст]


Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 Fürer, M. (2007). «Faster Integer Multiplication» in Proceedings of the thirty-ninth annual ACM symposium on Theory of computing, June 11-13, 2007, San Diego, California, USA
  2. A. Schönhage and V. Strassen, «Schnelle Multiplikation großer Zahlen», Computing 7 (1971), pp. 281—292.
  3. Anindya De, Piyush P Kurur, Chandan Saha, Ramprasad Saptharishi. Fast Integer Multiplication Using Modular Arithmetic. Symposium on Theory of Computation (STOC) 2008. arΧiv:0801.1416