Алгоритм Эдмондса — Карпа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Эдмондса — Карпа решает задачу нахождения максимального потока в транспортной сети. Алгоритм представляет собой частный случай метода Форда — Фалкерсона и работает за время O(VE^2). Впервые был опубликован в 1970 году советским учёным Е. А. Диницом. Позже, в 1972 году, был независимо открыт Эдмондсом и Карпом.

Алгоритм[править | править вики-текст]

Алгоритм Эдмондса — Карпа — это вариант алгоритма Форда — Фалкерсона, при котором на каждом шаге выбирают кратчайший дополняющий путь из s в t в остаточной сети (полагая, что каждое ребро имеет единичную длину). Кратчайший путь находится поиском в ширину.

Описание[править | править вики-текст]

  1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть изначально совпадает с исходной сетью.
  2. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
  3. Пускаем через найденный путь (он называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный поток:
    1. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью c_\min.
    2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на c_\min, а в противоположном ему — уменьшаем на c_\min.
    3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.
  4. Возвращаемся на шаг 2.

Чтобы найти кратчайший путь в графе, используем поиск в ширину:

  1. Создаём очередь вершин О. Вначале О состоит из единственной вершины s.
  2. Отмечаем вершину s как посещённую, без предка, а все остальные как непосещённые.
  3. Пока очередь непуста, выполняем следующие шаги:
    1. Удаляем первую в очереди вершину u.
    2. Для всех рёбер (u, v), исходящих из вершины u, таких что вершина v ещё не посещена, выполняем следующие шаги:
      1. Отмечаем вершину v как посещённую, с предком u.
      2. Добавляем вершину v в конец очереди
      3. Если v=t, выходим из обоих циклов: мы нашли кратчайший путь.
  4. Если очередь пуста, возвращаем ответ, что пути нет вообще и останавливаемся.
  5. Если нет, идём от t к s, каждый раз переходя к предку. Возвращаем путь в обратном порядке.

Сложность[править | править вики-текст]

В процессе работы алгоритм Эдмондса — Карпа будет находить каждый дополняющий путь за время O(E). Ниже мы докажем, что общее число увеличений потока, выполняемое данным алгоритмом, составляет O(VE). Таким образом, сложность алгоритма Эдмондса — Карпа равна O(VE^2).

Доказательство[править | править вики-текст]

Назовём расстоянием от вершины x до вершины у длину кратчайшего пути от x до y в остаточной сети. Если такого пути нет, будем считать расстояние бесконечным. Будем говорить, что y приблизилась к x (отдалилась от x), если расстояние от x до y уменьшилось (увеличилось). Будем говорить, что y ближе к x (дальше от x), чем z, если расстояние от x до y меньше (больше), чем расстояние от x до z.

Лемма. В ходе работы алгоритма ни одна вершина никогда не приближается к источнику. Доказательство. Пусть это не так, тогда при каком-то увеличении потока некоторые вершины приблизились к источнику. Назовём их неправильными. Выберем ту из неправильных вершин, которая после увеличения потока оказалась ближе всех к источнику (если таких больше одной, то любую из них). Обозначим выбранную вершину через v. Рассмотрим кратчайший путь от s до v. Обозначим предпоследнюю вершину на этом пути через u, таким образом, путь имеет вид s-...-u-v. Поскольку u ближе к s, чем v, а v - ближайшая к s из неправильных вершин, u - вершина правильная. Обозначив расстояния от s до u и v до и после увеличения потока соответственно через d_u\ , d_u^', d_v\ , d_v^', имеем:

d_v^' < d_v
d_u^' \ge d_u
d_v^' = d_u^' + 1

, откуда

d_v \ge d_u + 2

Следовательно, до увеличения потока ребро (u, v) отсутствовало в остаточной сети. Чтобы оно появилось, увеличивающий путь должен был содержать ребро (v, u). Но в алгоритме Эдмондса — Карпа увеличивающий путь всегда кратчайший, следовательно,

d_v = d_u + 1

, что противоречит предыдущему неравенству. Значит, наше предположение было неверным. Лемма доказана.

Назовём критическим то из ребёр увеличивающего пути, у которого остаточная пропускная способность минимальна. Оценим, сколько раз некое ребро (u, v) может оказываться критическим. Пускай это произошло на итерации t_1, а в следующий раз на итерации t_2. Обозначая через D_y(t) расстояние от s до y на итерации t, имеем:

D_v(t_1) = D_u(t_1)+1
D_v(t_2) = D_u(t_2)+1

Заметим, что на итерации t_1 критическое ребро исчезает из остаточной сети. Чтобы к моменту итерации t_2 ребро (u, v) в ней вновь появилось, необходимо, чтобы на какой-то промежуточной итерации t_3 был выбран увеличивающий путь, содержащий ребро (v, u). Следовательно,

D_u(t_3) = D_v(t_3)+1

Используя ранее доказанную лемму, получаем:

D_v(t_2) = D_u(t_2)+1 \ge D_u(t_3)+1 = D_v(t_3)+2 \ge D_v(t_1)+2

Поскольку изначально D_v>0 (иначе v=s, но ребро, ведущее в s, не может появиться на кратчайшем пути из s в t), и всегда, когда D_v конечно, оно меньше V (кратчайший путь не содержит циклов, и, следовательно, содержит менее V ребёр), ребро может оказаться критическим не более \frac{(V-1)-1}{2} + 1 = V/2 раз. Поскольку каждый увеличивающий путь содержит хотя бы одно критическое ребро, а всего рёбер, которые могут когда-то стать критическими, 2E (все рёбра исходной сети и им противоположные), то мы можем увеличить путь не более ЕV раз. Следовательно, количество итераций не превышает O(EV), что и требовалось доказать.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть задана сеть с истоком в вершине A и стоком в вершине G. На рисунке парой f/c обозначен поток по этому ребру и его пропускная способность.

Edmonds-Karp flow example 0.svg

Поиск в ширину[править | править вики-текст]

Опишем поиск в ширину на первом шаге.

  1. Очередь состоит из единственной вершины A. Посещена вершина A. Предков нет.
  2. Очередь состоит (от начала к концу) из вершин B и D. Посещены вершины A,B,D. Вершины B,D имеют предка А.
  3. Очередь состоит из вершин D и C. Посещены A,B,C,D. Вершины B,D имеют предка А, вершина C — предка B.
  4. Очередь состоит из вершин C,E,F. Посещены A,B,C,D,E,F. Вершины B,D имеют предка А, вершина C — предка B, вершины E,F — предка D.
  5. Вершина C удаляется из очереди: рёбра из неё ведут только в уже посещённые вершины.
  6. Обнаруживается ребро (E,G) и цикл останавливается. В очереди вершины (F,G). Посещены все вершины. Вершины B,D имеют предка А, вершина C — предка B, вершины E,F — предка D, вершина G — предка E.
  7. Идём по предкам: G->E->D->A. Возвращаем пройденный путь в обратном порядке: А->D->E->G.

Заметим, что в очередь последовательно добавляли вершины, достижимые из A ровно за 1 шаг, ровно за 2 шага, ровно за 3 шага. Кроме того, предком каждой вершины является вершина, достижимая из A ровно на 1 шаг быстрее.

Основной алгоритм[править | править вики-текст]

Пропускная способность пути Путь
\min(c_f(A,D),c_f(D,E),c_f(E,G)) =

\min(3-0, 2-0, 1-0) =
\min(3,2,1) = 1

A,D,E,G
Edmonds-Karp flow example 1.svg
\min(c_f(A,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) =

\min(3-1, 6-0, 9-0) =
\min(2,6,9) = 2

A,D,F,G
Edmonds-Karp flow example 2.svg
\min(c_f(A,B),c_f(B,C),c_f(C,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) =

\min(3-0, 4-0, 1-0, 6-2, 9-2) =
\min(3,4,1,4,7) = 1

A,B,C,D,F,G
Edmonds-Karp flow example 3.svg
\min(c_f(A,B),c_f(B,C),c_f(C,E),c_f(E,D),c_f(D,F),c_f(F,G)) =

\min(3-1, 4-1, 2-0, 0--1, 6-3, 9-3) =
\min(2,3,2,1,3,6) = 1

A,B,C,E,D,F,G
Edmonds-Karp flow example 4.svg

Отметим, что в процессе выполнения алгоритма длины дополняющих путей (на рисунках обозначены красным) не убывают. Это свойство выполняется благодаря тому, что мы ищем кратчайший дополняющий путь.

Алгоритм Диница[править | править вики-текст]

Улучшенной версией алгоритма Эдмондса-Карпа является алгоритм Диница, требующий O(|V|^2|E|) операций.

Назовём вспомогательной бесконтурной сетью графа G с источником s его подграф, содержащий только такие рёбра (u, v), для которых минимальное расстояние от s до v на единицу больше минимального расстояния от s до u.

Алгоритм Диница:

  1. Строим минимальную бесконтурную сеть остаточного графа.
  2. Пока в сети есть путь из s в t, выполнить следующие шаги:
    1. Находим кратчайший путь из s в t. Если его нет, выйти из цикла.
    2. На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью c_\min.
    3. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на c_\min, а в противоположном ему — уменьшаем на c_\min.
    4. Удаляем все рёбра, достигшие насыщения.
    5. Удаляем все тупики (то есть вершины, кроме стока, откуда не выходит рёбер, и вершины, кроме источника, куда рёбер не входит) вместе со всеми инцидентными им рёбрами.
    6. Повторяем предыдущий шаг, пока есть что удалять.
  3. Если найденный поток ненулевой, добавляем его к общему потоку и возвращаемся на шаг 1.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Томас Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.