Альтернативная алгебра

Альтернативная алгебра — линейная алгебра, которая является альтернативным кольцом.

Альтернативная алгебра — иногда под альтернативной алгеброй понимают алгебру в которой умножение может быть не ассоциативно, требуется только альтернативность:

$x(xy) = (xx)y$

$(yx)x = y(xx)$

для всех х и y в алгебре. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и строго неассоциативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, не обладают также и свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутатирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если M является альтернативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Мальцева.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

$[x,y,z] = (xy)z - x(yz)$

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид

$[x,x,y] = 0$

$[y,x,x] = 0$

для любых элементов $x$ и $y.$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

$[x,y,z] + [y,x,z] = 0$

$[x,y,z] + [x,z,y] = 0$

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

$[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]$

где $\sigma$ — перестановка элементов $x,y,z,$ $\mathrm{sgn}\,\sigma$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

$x(xy) = (xx)y$

$(yx)x = y(xx)$

$(xy)x = x(yx)$

откуда сразу следует третье из тождеств.

Литература

• Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990, 1991. — Т. 1, 2. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000/25 500 экз. — ISBN 5-02-014426-6+5-02-014427-4
• Schafer Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5

См. также

• Общая алгебра
• Алгебра Ли
• Алгебра Мальцева
• Алгебра Валя
• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Группа Ли