Альтернативная алгебра

Альтернативная алгебра — линейная алгебра, которая является альтернативным кольцом.

Альтернативная алгебра — иногда под альтернативной алгеброй понимают алгебру в которой умножение может быть не ассоциативно, требуется только альтернативность:^{[источник не указан 195 дней]}

$x(xy) = (xx)y$

$(yx)x = y(xx)$

для всех х и y в алгебре. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и строго неассоциативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, не обладают также и свойством альтернативности.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

$[x,y,z] = (xy)z - x(yz)$

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид

$[x,x,y] = 0$

$[y,x,x] = 0$

для любых элементов $x$ и $y.$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

$[x,y,z] + [y,x,z] = 0$

$[x,y,z] + [x,z,y] = 0$

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

$[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]$

где $\sigma$ — перестановка элементов $x,y,z,$ $\mathrm{sgn}\,\sigma$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

$x(xy) = (xx)y$

$(yx)x = y(xx)$

$(xy)x = x(yx)$

откуда сразу следует третье из тождеств.

Литература

• Schafer Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5