Альтернативная алгебра
Альтернативная алгебра — линейная алгебра, которая является альтернативным кольцом.[1]
Альтернативная алгебра — иногда под альтернативной алгеброй понимают алгебру в которой умножение может быть не ассоциативно, требуется только альтернативность:[источник не указан 195 дней]
для всех х и y в алгебре. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и строго неассоциативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, не обладают также и свойством альтернативности.
[править] Ассоциатор
| В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка стоит на статье с 31 августа 2011. |
С использованием ассоциатора
определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид
для любых элементов
и
Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что
Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:
где
— перестановка элементов
— чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.
Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:
откуда сразу следует третье из тождеств.
[править] Примечания
- ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
[править] Литература
- Schafer Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5
| Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |


![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/1/4/2/142d3bbc70c528ef0835ba1d0a1485e9.png)
![[x,x,y] = 0](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/d/5/9/d59ffa43e46c1f8ac00270d096485adb.png)
![[y,x,x] = 0](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/f/1/0/f10e32d7fff9b8048ae91436ce27c63a.png)
![[x,y,z] + [y,x,z] = 0](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/b/9/f/b9f14719ab32bc57b4393bbfe7f81571.png)
![[x,y,z] + [x,z,y] = 0](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/9/1/d/91d84ab2cca5c4e90303a0b2be96c670.png)
![[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/a/b/8/ab84ea6db30f0951f8693e01a343aa8e.png)
