Альтернативная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой, вообще говоря, не является ассоциативным, однако любые два элемента порождают ассоциативную подалгебру.[1] Согласно теореме Артина, для этого достаточно, чтобы умножение в неассоциативной алгебре удовлетворяло следующим двум тождествам:

x(xy) = (xx)y
(yx)x = y(xx)

для всех х и y в алгебре. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева[править | править вики-текст]

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения g(A,B) в альтернативной алгебре M операцией коммутатора [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру Мальцева M^{(-)}.

Ассоциатор[править | править вики-текст]

С использованием ассоциатора

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид[2]

[x,x,y] = 0
[y,x,x] = 0

для любых элементов x и y. Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

[x,y,z] + [y,x,z] = 0
[x,y,z] + [x,z,y] = 0

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]

где \sigma — перестановка элементов x,y,z, \mathrm{sgn}\,\sigma — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

x(xy) = (xx)y
(yx)x = y(xx)
(xy)x = x(yx)

откуда сразу следует третье из тождеств.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. Жевалков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И., "Кольца, близкие к ассоциативным" М.: Наука, 1978. Глава 2, Параграф 3. стр. 49-55.

Литература[править | править вики-текст]

  • Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
  • Schafer Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.

См. также[править | править вики-текст]