Альтернативная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Альтернати́вная ма́трица[1][2] (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности m \times n, задаваемая с помощью m элементов \alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_m и n функций f_1, f_2, \dots f_n так, что каждый элемент матрицы M_{i,j} = f_j(\alpha_i)[3] или, в развёрнутом виде:

M=\begin{bmatrix}
f_1(\alpha_1) & f_2(\alpha_1) & \dots & f_n(\alpha_1)\\
f_1(\alpha_2) & f_2(\alpha_2) & \dots & f_n(\alpha_2)\\
f_1(\alpha_3) & f_2(\alpha_3) & \dots & f_n(\alpha_3)\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
f_1(\alpha_m) & f_2(\alpha_m) & \dots & f_n(\alpha_m)\\
\end{bmatrix}

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц[править | править исходный текст]

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной[4][5].) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура (англ.)русск., в которой f_i(\alpha)=\alpha^{q^{i-1}}.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц[править | править исходный текст]

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции f_j(x) полиномиальны, то при условии \alpha_i = \alpha_j для всех i < j детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, (\alpha_j - \alpha_i) является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых i, j, удовлетворяющим условию 1 \leq i < j \leq n. Следовательно, детерминант Вандермонда


V = \begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\
1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\
1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} \\
\end{bmatrix}

равный \prod_{i < j} (\alpha_j - \alpha_i) также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение \frac{\det M}{\det V} носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда f_j(x) = x^{m_j}, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • A. C. Aitken Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
  • Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334–342. — ISBN 0521560691
  • Thomas Muir A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Alternant matrix. Аcademic.ru. Проверено 17 ноября 2012. Архивировано из первоисточника 9 января 2013.
  2. Alternant matrix. Multitran.ru. Проверено 17 ноября 2012.
  3. A. C. Aitken Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 112. — 144 с.
  4. Hrishikesh D. Vinod Hands-on matrix algebra using R: active and motivated learning with applications. — Singapore: World Scientific, 2011. — С. 290. — 329 с. — ISBN 9814313688
  5. Marvin Marcus, Henryk Minc A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover, 1992. — С. 15. — 180 с. — ISBN 048667102X