Анализ функций многих переменных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является расширением исчисления функций одной переменной в исчисление функций нескольких переменных: функции, которые дифференцируются и интегрируются, затрагивая несколько переменных, а не одну.

Типичные операции[править | править вики-текст]

Пределы и непрерывность[править | править вики-текст]

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x ^ 2, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция ~f(x_1,\ldots,x_n) имеет пределом число A при стремлении переменных ~x_1,\ldots,x_n, соответственно, к ~a_1,\ldots,a_n, если для каждого число ~\varepsilon > 0 найдется такое число ~\delta > 0, что ~|f(x_1,\ldots,x_n)-A)|<\varepsilon, то есть ~|x_1-a_1|<\delta,\ldots,|x_n-a_n|<\delta.

Функция ~u=f(M) называется непрерывной в точке A, если предельное значение этой функции в точке A существует и равно частному значению ~f(A).

Функция ~u=f(M) называется непрерывной на множестве {M}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной[править | править вики-текст]

Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области D имеем функцию ~u = f(x,y,z); возьмем точку ~M_0(x_0,y_0,z_0) в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y_0 и z_0, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x_0); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке ~x = x_0. Придадим этому значению x_0 приращение \Delta x, тогда функция получит приращение ~\Delta_x u=\Delta_x f(x_0,y_0,z_0) = f(x_0+\Delta x,y_0,z_0) - f(x_0,y_0,z_0), которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел ~\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta_x u}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0,z_0)-f(x_0,y_0,z_0)}{\Delta x}. Эта производная называется частной производной функции ~f(x,y,z) по x в точке ~(x_0,y_0,z_0).

Аналогично определяются и частные производные функции ~f(x,y,z) по y и z в точке ~(x_0,y_0,z_0). Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла (\nabla) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование[править | править вики-текст]

Интеграл ~\underbrace{\int{\cdots}\int}_{X}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1 \ldots dx_n называется кратным интегралом, если ~n>1. В случае ~n=2 он называется двойным, в случае ~n=3 — тройным интегралом, а в случае произвольного ~n\in N — n-кратным. Его обозначают также ~\int\limits_{X}f(x)dx. При такой записи под символом x следует понимать точку ~x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) пространства ~E^n, под символом dx — произведение ~dx=dx_1 dx_2 \ldots dx_n, а под знаком ~\int\limits_{D} — n-кратный интеграл по n-мерной области D.

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей в плоскости и в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных[править | править вики-текст]

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение[править | править вики-текст]

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

Область Применимые методы
Кривые Osculating circle.svg f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n Длины кривых, Криволинейные интегралы, и кривизна.
Поверхности Helicoid.PNG f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля Surface-plot.png f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям.
Векторные поля Vector field.svg f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n Любая из операций векторного анализа, включая градиент, дивергенцию, и ротор.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
  • Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Ссылки[править | править вики-текст]