Квантовый гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, $n = 0,\dots,7$. По горизонтали отложена координата $q$, по вертикали — значение волновой функции $\psi_n(q)$. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$\! \hat{H} = \frac{\hat p ^2 }{2 m } + \frac{m \omega^2 \hat q ^2}{2}$

В координатном представлении $\hat p=-i\hbar\partial/\partial x$ , $\hat q =x$. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

$-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)\ ,\ n = 0, 1, 2, \ldots$

решение имеет вид:

$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right),$

функции $\! H_n$ — полиномы Эрмита:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\hbar\omega$, во-вторых наименьшее значение энергии равно $\hbar\omega/2$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

$\! \hat{a}^+ = \frac{(\hat{p} + {i} m \omega \hat{q})} {\sqrt{2 \hbar \omega m}}$

Оператор уничтожения:

$\! \hat{a} = \frac{(\hat{p} - {i} m \omega \hat{q})}{\sqrt{2 \hbar \omega m}}$

Их коммутатор равен

$\! [\hat{a}, \hat{a}^+] = \hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = \frac{i}{\hbar} (\hat{p}\hat{q} - \hat{q}\hat{p}) = 1$

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

$\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\hbar\omega\left(\hat{n}+\frac{1}{2}\right)$,

где $\! \hat{n}=\hat{a}^+\hat{a}$ — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$\hat{H} = {\hat{p}^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \hat{q}^2 + \lambda \hat{q}^3$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over 2} (\hat{a} + \hat{a}^+)^3.$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $\left| \psi_E \right\rangle$ равна

$\Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| q^3 {1 \over E - \hbar\omega/2} q^3 \left| \psi_E \right\rangle.$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$\hat{H} = \sum_{i=1}^N {\hat{p}_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (\hat{q}_i - \hat{q}_j)^2$

Здесь под $\! \hat{q}_i$ и $\! \hat{p}_i$ подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс $\! i$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы $\! f(t)$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ($\! n$) на другой ($\! m$). Вероятность этого перехода $\! W_{n,m}(t)$ для осциллятора без затухания даётся формулой:

$W_{n,m} (t) = \frac{n!}{m!} |\delta|^{2(n-m)}exp(-|\delta^2| \left ( L_n^{m-n} (|\delta|^2) \right )^2)$,

где функция $\! \delta(t)$ определяется как:

$\delta(t) = -i l \hbar \int\limits_0^t{f(\tau) exp(i \omega \tau) d\tau}$,

а $L_m^{m-n}$ — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор