Антиголоморфная функция

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение[править | править код]

Функция $f$ , определённая на открытом подмножестве $D$ комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная ${\frac {df}{d{\bar {z}}}}$ по ${\bar {z}}$ существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

{\frac {\partial f}{\partial z}}=0

которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}

{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}

где

f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R}

Функция, зависящая одновременно от $z$ и ${\bar {z}}$ , не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства[править | править код]

$f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $f({\bar {z}})$ антиголоморфна в ${\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}$ .
функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням ${\bar {z}}$ в окрестности каждой точки её области определения.
$f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда ${\bar {f}}(z)$ антиголоморфна в $D$ .
если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.