Антиголоморфная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение[править | править вики-текст]

Функция f, определённая на открытом подмножестве D комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная \frac{d f}{d \bar z} по \bar z существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

\frac{\partial f}{\partial z} = 0

которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}
\frac{\partial u}{\partial y} =   \frac{\partial v}{\partial x}

где

f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y), \quad z = x + i y, \quad \{ x,y,u,v \} \sub \mathbb R

Функция, зависящая одновременно от z и \bar z, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства[править | править вики-текст]

  • f(z) голоморфна в D тогда и только тогда, когда f(\bar z) антиголоморфна в \bar D = \{\bar z | z \in D\}.
  • функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням \bar z в окрестности каждой точки её области определения.
  • f(z) голоморфна в D тогда и только тогда, когда \bar f(z) антиголоморфна в D.
  • если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.