Антиголоморфная функция

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение

Функция $f$, определённая на открытом подмножестве $D$ комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная $\frac{d f}{d \bar z}$ по $\bar z$ существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

$\frac{\partial f}{\partial z} = 0$

которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$

где

$f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y), \quad z = x + i y, \quad \{ x,y,u,v \} \sub \mathbb R$

Функция, зависящая одновременно от $z$ и $\bar z$, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $f(\bar z)$ антиголоморфна в $\bar D = \{\bar z | z \in D\}$.
• функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням $\bar z$ в окрестности каждой точки её области определения.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $\bar f(z)$ антиголоморфна в $D$.
• если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.