Антисимметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

$T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots}$

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами $U_{ijk\dots}$, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

$U_{(ij)k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})$ (симметричная часть),

$U_{[ij]k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})$ (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что $U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}$

Свойства

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

$A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=A_{(ji)k\dots}B_{[ji]k\dots} =-A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=0.$

Важный антисимметричный тензор в физике — тензор электромагнитного поля F в электромагнетизме.

См. также

• Антисимметричная матрица
• Симметричный тензор
• Дифференциальная форма
• Абсолютно антисимметричный единичный тензор