Антисимметричный тензор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике и теоретической физике тензор называется антисимметричным по двум индексам i и j, если он меняет знак при перестановке этих индексов:

T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots}

Если тензор меняет знак при перестановке любой пары индексов то такой тензор называется абсолютно антисимметричным тензором.

Для любого тензора U, с компонентами U_{ijk\dots}, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

U_{(ij)k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots}) (симметричная часть),

U_{[ij]k\dots}=(1/2)(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots}) (антисимметричная часть),

сходно для других индексов.

Под термином «часть» подразумевается, что U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots}

Свойства[править | править исходный текст]

Свёртка тензора A, который антисимметричен по индексам i и j с тензором B, который симметричен по индексам i и j, равна нулю. Доказательство:

A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=A_{(ji)k\dots}B_{[ji]k\dots}
=-A_{(ij)k\dots}B_{[ij]k\dots}=0.

Важный антисимметричный тензор в физике — тензор электромагнитного поля F в электромагнетизме.

См. также[править | править исходный текст]