Антиэрмитова матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике антиэрмитовой или косоэрмитовой матрицей называется квадратная матрица A, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

A^{\dagger} = -A,

или поэлементно:

a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}},

где через \overline{x} обозначено комплексное сопряжение числа x.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойств антиэрмитовых матриц могут при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
  • Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда X^{\dagger}A^{\dagger} Y = -X^{\dagger}A Y для любых векторов X и Y (форма X^{\dagger}A Y — антиэрмитова).
  • Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
  • Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
  • Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если A антиэрмитова, то A^2 эрмитова.
  • Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
  • Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:
M = M_h + M_a,
где
 M_h = \frac{1}{2}(M + M^\dagger) — эрмитова,
 M_a = \frac{1}{2}(M - M^\dagger) — антиэрмитова.
  • Для любого комплексного числа \lambda такого, что |\lambda| = 1, существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами U, не имеющих собственных числе равных a и антиэрмитовыми матрицами A, задаваемое формулами Кэли:
U = \lambda (A - I) (A + I)^{-1},
A = \lambda (aI + U) (aI - U)^{-1},
где Iединичная матрица.
В частности, при \lambda = -1:
U =  (I - A) (I + A)^{-1},
A = (I - U) (I + U)^{-1}.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Brookes, M., "The Matrix Reference Manual", Imperial College, London, UK