Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна[⇨].

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов[⇨]. В 1937 году Маршалл Стоун (англ. Marshall Stone) существенно обобщил результат[⇨], распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T2-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата[⇨].

Теорема Вейерштрасса[править | править вики-текст]

Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из [a,\;b] выполнено условие |f(x)-p(x)|<\varepsilon[1].

Если f(x) непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома p следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса[править | править вики-текст]

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественных всюду определённых непрерывных функций f(x) и \psi(x), абсолютное значение которых не превосходит некоторой границы, притом \psi(x) нигде не меняет своего знака и удовлетворяет равенству \psi(-x)=\psi(x) и для неё сходится интеграл:

\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx,

выполнено:

f(x) = \lim\limits_{k=0} \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен f(x), но и что сходимость равномерная по x, меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве \psi(x)=e^{-x^2}, каждая из функция из семейства:

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy

вполне определена при всех комплексных x и является целой. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию f(x) можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же f(x) — периодическая функция с периодом T, то функции F_k(x) являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области z\not =0 и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)},

поэтому F_k(x), а значит и f(x) можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса[править | править вики-текст]

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции y от x говорят, когда каждому значению переменной x, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение y; при этом не существенно, зависит ли y от x во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия[править | править вики-текст]

Согласно теореме Вейершртасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна[править | править вики-текст]

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца C(K) непрерывных на хаусдорфовом компакте K функций, можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть, алгебра Стоуна C_0 является всюду плотной на в пространстве непрерывных функций на компакте: \overline{A}=C(K). В качестве нормы равномерной сходимости на C(K) берётся \| f \| = max_{x \in K} |f(x)|, а алгебра Стоуна определяется как подкольцо C_0 \subseteq C(K), содержащее все константы, разделяющие K.

Более точно, алгебра Стоуна C_0 содержит функции из кольца C(K), удовлетворяющие следующим условиям:

  1. вместе с любыми её элементами f, g \in C_0 в алгебру Стоуна входят элементы: cf (c \in K), f + g, fg;
  2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию 1;
  3. для каждой пары различных точек x_{1}, x_{2} \in K найдётся хотя бы одна функция f \in C_0 такая, что f(x_{1}) \neq f(x_{2}).
  4. для любой точки x_{0} \in K найдётся хотя бы одна функция f \in C_0 такая, что f(x_{0}) \neq 0.

Дальнейшие обобщения[править | править вики-текст]

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теорема Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

Литература[править | править вики-текст]