Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аппроксимацио́нная теорема Вейерштра́сса (Стоуна — Вейерштрасса) — утверждение о том, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Обобщением этой теоремы на случай более широкий класс функций является теорема Стоуна об аппроксимации.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из [a,\;b] выполнено условие |f(x)-p(x)|<\varepsilon.[1]

Если f(x) непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома p следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса[править | править вики-текст]

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть f(x) при каждом вещественном значении переменной x является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы… Пусть \psi(x) обладает теми же свойствами, что и f, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству \psi(-x)=\psi(x) и для неё сходится интеграл

\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx,

который можно обозначить как \omega. Если положить

F(x,k)=\frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy,

то

f(x)=\lim\limits_{k=0}F(x,k).

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен f(x), но и что сходимость равномерная по x, меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

\psi(x)=e^{-x^2},

видим, что F(x,k) вполне определены при всех комплексных x и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию f(x) можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же f(x) периодическая функция с периодом T, то F(x,k) являются целыми периодическими функциями. Но тогда

F\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z, k\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области z\not =0 и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

F=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)},

поэтому F(x,k), а значит и f(x) можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление[править | править вики-текст]

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Герман Ханкель определил их наиболее четко:

О функции y от x говорят, когда каждому значению переменной x, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение y; при этом не существенно, зависит ли y от x во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]

Фраза «не существенно … может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций» призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения[править | править вики-текст]

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261