Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.


Содержание

[править] Формулировка

Пусть f — непрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из [a,\;b] выполнено условие |f(x)-p(x)|<\varepsilon.[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома p следует считать комплексными числами.

[править] Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть f(x) при каждом вещественном значении переменной x является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть ψ(x) обладает теми же свойствами, что и f, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству ψ( − x) = ψ(x) и для нее сходится интеграл

\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx,
который можно обозначить как ω. Если положить
F(x,k)=\frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy,
то
f(x)=\lim\limits_{k=0}F(x,k).

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен f(x), но и что сходимость равномерная по x, меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

\psi(x)=e^{-x^2},

видим, что F(x,k) вполне определены при всех комплексных x и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию f(x) можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же f(x) периодическая функция с периодом T, то F(x,k) являются целыми периодическими функциями. Но тогда

F\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z, k\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области z\not =0 и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

F=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)},

поэтому F(x,k), а значит и f(x) можно приблизить тригонометрическими полиномами.

[править] Произвольные функции и их аналитическое представление

В середине 19 века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Ханкель определил их наиболее четко:

О функции y от x говорят, когда каждому значению переменной x, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение y; при этом не существенно, зависит ли y от x во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]

Фраза "не существенно ... может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций" призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые патологические функции, напр., функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

[править] Другие применения

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

[править] См. также

[править] Ссылки

  1. ↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. ↑ Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. ↑ Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0»
На других языках