Аппроксимация Паде

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аппроксимация Паде — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

f(z) = c_n + c_1z + c_2z^2 + \ldots

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты a_i и b_i и получить аппроксимант

\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}.

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История[править | править вики-текст]

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнелльского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть имеется разложение функции f(z) в степенной ряд Тейлора:

f(z) = \sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i},

где c_i — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

[L/M] = \frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M},

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции f(z) до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет L+1 коэффициентов в числителе и M+1 — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

Таблица Паде[править | править вики-текст]

Обобщения[править | править вики-текст]

  • Многоточечные аппроксимации Паде
  • Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
  • Аппроксимация функции нескольких переменных
  • Матричные аппроксимации Паде
  • Аппроксимация Паде — Чебышёва
  • Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методы нахождения[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. H. Padé. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892

Библиография[править | править вики-текст]

  • Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]