Аргументы максимизации и минимизации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) — есть значение x~, при котором f(x)~ достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов [1].

\underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\}

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: x_0 = \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \Leftrightarrow \max f(x) = f(x_0)

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума.

\underset{x}{\operatorname{argmin}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \ge f(x)\}

Примеры[править | править вики-текст]

  • \underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{argmax}} (x(10-x)) = 5, так как максимум функции, равный 25, достигается при x=5~.
  • \underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{argmax}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}, так как \max {\cos x}=1~ на отрезке [0,4\pi] достигается при x=0, 2\pi, 4\pi~

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — 1184 с.: ил.