Арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d.$

Так что $~n$ -й член арифметической прогрессии равен

$~{a_n}={a_1}+d{ \left( n-1 \right) }$

Более точно: последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага или разности прогрессии), часто дополнительно предполагают $d\not=0$ . Иначе говоря, для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнено равенство.

$a_n=a_{n-1} + d \quad$

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле:

$a_n=a_1 + (n-1)d \quad \forall n \ge 1$ (формула общего члена)

[править] Пример

3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия с шагом 3, из десяти членов.

[править] Свойства

Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
.
- Обратное также верно, т.е. это свойство является признаком арифметической прогрессии.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

$S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n$
Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

$S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n$
Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

$S_n = \sum_{i=1}^n i = 1+2+3+4+5+...+n = {n(n+1) \over 2}$
Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.