Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots$,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага или разности прогрессии):

$a_n=a_{n-1} + d \quad$

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_n=a_1 + (n-1)d \quad \forall n \ge 1$

Примеры

• $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3
• 1, −1, −3, −5, −7  — арифметическая прогрессия с шагом −2
• $\pi, \pi, \pi, \pi$ — арифметическая прогрессия с шагом 0

Свойства

1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
       $a_n={a_{n-1}+a_{n+1} \over 2} \quad \forall n \ge 2$.
   • Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
   • Доказательство:

     $\Rightarrow : \forall n > 1 \quad a_n = a_1 + (n - 1)d = \frac{2\cdot (a_1 + (n - 1)d)}{2} = \frac{2a_1 + 2dn - 2d}{2} = \frac{a_1 + (n-2)d + a_1 + nd}{2} = \frac{a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}$

     $\Leftarrow :\$ аналогично

2. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

   $S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n$

   • Доказательство:
     • Через сумму:

       $\sum_{i=1}^na_i = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i - 1)) = \sum_{n - i = 1}^n(a_1+d(n - i - 1)) = \sum_{i=1}^n(a_1 + dn - di) =$

       $= \sum_{i=1}^n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n(2a_1 + d(n-1)) - \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) \quad \Rightarrow$

       $\Rightarrow \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1)) = n\frac{2a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_1+d(n-1)}{2} = n\frac{a_1+a_n}{2}$

     • По индукции:

       $n = 1 :\quad S_1 = \sum_{i=1}^1(a_1+d\cdot 0) = a_1 = 1\cdot \frac{a_1+a_1}{2}$

       $n \rightarrow n+1 :\quad S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}(a_1+d(i-1)) = \sum_{i=1}^n(a_1+d(i-1))+(a_1+dn)=$

       $=S_n+(a_1+dn) = n\frac{a_1 + a_n}{2}+(a_1+dn) = \frac{na_1 + na_1+n^2d-nd+2a_1+2dn}{2}=$

       $=(n+1)\frac{2a_1+dn}{2}=(n+1)\frac{a_1 + a_{n+1}}{2}$

3. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

   $S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n$

4. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

   $S_n = \sum_{i=1}^n i = 1+2+3+4+5+...+n = {n(n+1) \over 2}$

5. Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией 2-го порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36...,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11...

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

См. также

• Геометрическая прогрессия

Ссылки

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.