Арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

a_1,\  a_1+d,\  a_1+2d,\   \ldots,\   a_1+(n-1)d.

Более точно: последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага или разности прогрессии), часто дополнительно предполагают d\not=0. Иначе говоря, для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнено равенство.

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле:

a_n=a_1 + (n-1)d \quad \forall n \ge 1 (формула общего члена)

[править] Пример

  • 3,6,9,12,15,18,21 — арифметическая прогрессия с шагом 3, из семи членов.

[править] Свойства

  • Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.
  • Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
        a_n={a_{n-1}+a_{n+1} \over 2} \quad \forall n \ge 2.
    • Обратное также верно, т.е. это свойство является признаком арифметической прогрессии.
  • Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами
        S_n=\sum_{i=1}^n  a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n
  • Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

    S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n

[править] См.также