Корень (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Арифметический корень»)
Перейти к: навигация, поиск

Это статья об извлечении корней. См. также Корень уравнения и Корень многочлена.

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Корень n-й степени из числа a определяется[1] как такое число b, что ~b^n=a. Здесь nнатуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай n=1 тривиален.

Обозначение: b=\sqrt[n]{a}, символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число a (подкоренное выражение) чаще всего вещественное или комплексное.

Примеры для вещественных чисел:

  • \sqrt[2]{9}=\pm 3, потому что {(\pm 3)}^2=9.
  • \sqrt[3]{\ 64}=4, потому что 4^3=64.
  • \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}, потому что \left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.

Как видно из первого примера, у вещественного корня могут быть два значения (положительное и отрицательное), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого всегда неотрицательно, в первом примере это число 3.

Определение и связанные понятия[править | править исходный текст]

Кроме приведенного выше, можно дать два равносильных определения корня[2]:

  • Корень n-й степени из числа a есть решение x уравнения ~x^n=a (отметим, что решений может быть несколько или ни одного)
  • Корень n-й степени из числа a есть корень многочлена x^n-a, то есть значение x, при котором указанный многочлен равен нулю.
График значений квадратного корня

Операция вычисления \sqrt[n]{a} называется «извлечением корня n-й степени» из числа a. Это одна из двух операций, обратных по отношению к возведению в степень[3], а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень a=b^n. Вторая обратная операция, логарифмирование, находит показатель степени по известным основанию и результату.

Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия[3].

  • Квадратный корень: \sqrt{a}. В этом случае показатель степени 2 обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Геометрически \sqrt{a} можно истолковать как длину стороны квадрата, площадь которого равна a.
  • Кубический корень: \sqrt[3]{a}. Геометрически \sqrt[3]{a} — это длина ребра куба, объём которого равен a.

Корни из вещественных чисел[править | править исходный текст]

Корень n-й степени из вещественного числа a, в зависимости от чётности n и знака a, может иметь от 0 до 2 вещественных значений.

Общие свойства[править | править исходный текст]

  • Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, однозначно определенное.
\sqrt[n]{a} = b,   где   a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},   n — нечётное
Например, \sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1
  • Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число, однозначно определенное.
\sqrt[n]{a} = b,   где   a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — нечётное
Например, \sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1
  • Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками, но равными по модулю.
\sqrt[n]{a} = \pm b,   где   a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},   n — чётное
Например, \sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2
  • Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число. Ниже будет показано, как извлекать такие корни в более широкой системе — множестве комплексных чисел (тогда значениями корня будут n комплексных чисел).
\sqrt[n]{a}   не существует, если   a < 0,\ n \in \mathbb{N},   n — чётное
  • Корень любой натуральной степени из нуля — нуль.
\sqrt[n]{0} = 0,   где   n \in \mathbb{N}
График функции арифметического квадратного корня

Арифметический корень[править | править исходный текст]

Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании. Поэтому было введено практически важное ограничение этого понятия[4].

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного вещественного числа a — это такое неотрицательное число b, что ~b^n=a. Обозначается арифметический корень тем же знаком радикала.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического[5]), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно[6] и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа 4 имеет два значения: 2 и -2, из них арифметическим является первое.

Поскольку арифметический корень и алгебраический обозначаются одним и тем же символом, но являются разными объектами, в рамках данной статьи арифметический корень обозначается синим цветом, а алгебраический — чёрным.

Алгебраические свойства[править | править исходный текст]

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени, что подчёркивается выделением знака радикала синим цветом (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения[7].

  • Взаимопогашение корня и степени[8] — для нечётного n:    ~\sqrt[n]{a^n} = a, для чётного n:    ~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|
  • Если a<b, то и {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}

Аналогично для деления:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень[9]:

  • a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на их общий множитель:

  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N. Пример: {\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2
  • {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \; n,k \in \mathbb N

Для корней нечётной степени укажем дополнительное свойство:

  • \sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a}

Извлечение корня и возведение в дробную степень[править | править исходный текст]

Операция возведения в степень первоначально была введена как сокращённая запись операции умножения натуральных чисел: ~m^n=m\cdot m\dots\cdot m     (n раз). Следующим шагом было определение возведения в произвольную целую, в том числе отрицательную, степень: ~m^{-n}=\frac{1}{m^n}.

Операция извлечения арифметического корня позволяет определить возведение положительного числа в любую рациональную (дробную) степень[9]:

a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}},     a>0

При этом числитель m дроби \frac{m}{n} может иметь знак. Свойства расширенной операции в основном аналогичны возведению в целую степень.

Это определение означает, что извлечение корня и обратное к нему возведение в степень фактически объединяются в одну алгебраическую операцию. В частности:

~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}

Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел могут привести к ошибкам, поскольку значение алгебраического корня неоднозначно, а область значений арифметического корня ограничена неотрицательными числами. Пример возможной ошибки:

-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1

Функция корня[править | править исходный текст]

Если рассматривать подкоренное выражение как переменную, мы получим функцию корня n-й степени: y=\sqrt[n] x. Функция корня относится к категории алгебраических функций. График любой функции корня проходит через начало координат и точку (1; \ 1).

Как сказано выше, для корня чётной степени, чтобы обеспечить однозначность функции, корень должен быть арифметическим, так что аргумент x неотрицателен. Функция корня нечётной степени однозначна и существует для любого вещественного значения аргумента.

Тип функции корня Область определения Область значений Другие свойства
Чётной степени [0; \ +\infty ) [0; \ +\infty ) Функция выпукла вверх на всей области определения
Нечётной степени (-\infty; +\infty) (-\infty; +\infty) Функция нечётна

Для любой степени функция корня строго возрастает, непрерывна всюду внутри своей области определения. Неограниченно дифференцируема всюду, кроме начала координат, где производная обращается в бесконечность[10] [11]. Производная определяется по формуле[12]:

\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}   . В частности,   \frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}.

Функция неограниченно интегрируема во всей области определения. Неопределенный интеграл ищется по формуле:

\int \sqrt[n]{x} \;dx =  \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C   . В частности,   \int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C   , где   C — произвольная постоянная.

Предельные соотношения[править | править исходный текст]

Приведём несколько полезных пределов, содержащих корни[15].

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1
\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x -1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}

Практическое вычисление корней[править | править исходный текст]

Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах. Для степеней выше третьей можно использовать логарифмическое тождество:

\log_a \sqrt[n]{x} = \frac {\log_a (x)} n \,

Из него следует, что для извлечения корня надо найти логарифм подкоренного выражения, разделить на степень корня и найти антилогарифм результата.

Корни из комплексных чисел[править | править исходный текст]

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Способы нахождения[править | править исходный текст]

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right).

Тогда корни n-й степени из z определяются формулой Муавра (тригонометрическая форма)[16]:

\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1
Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

или в показательной форме:

z = r e^{i\varphi}
\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1

Корень степени n из ненулевого комплексного числа имеет n значений (это следствие основной теоремы алгебры), и все они различны. Значение корня, получаемое при k=0, часто называется главным.

Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова (он определяется как арифметический корень из модуля изначального комплексного числа), а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}} c центром в начале координат. Корни делят эту окружность на n равных частей.

Примеры[править | править исходный текст]

Найдём \sqrt{-4}. Поскольку -4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}), по формуле получаем:

\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1

При k=0 получим первый корень 2 i, при k=1 получим второй корень (-2 i).

Другой пример: найдём \sqrt[4]{-16}. Представим подкоренное выражение в тригонометрической форме:

-16 = 16\ (\cos(\pi + 2k\pi) + i \sin(\pi + 2k\pi) )

По формуле Муавра получаем:

z_k = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)

В итоге имеем четыре значения корня[17]:

z_0=2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1+i)
z_1=2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (-1+i)
z_2=2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}\ (1+i)
z_3=2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1-i)

Можно записать сводный ответ в виде: ~\sqrt[4]{-16} = \sqrt{2}\ (\pm 1 \pm i)

Комплексная функция корня и риманова поверхность[править | править исходный текст]

Рассмотрим комплексную функцию корня n-й степени: w=\sqrt[n]{z}. Согласно сказанному выше, эта функция является многозначной (точнее, n-значной) функцией, и это создаёт неудобства при её исследовании и применении. В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью[18].

Для комплексной функции корня n-й степени её риманова поверхность (см. рисунки) состоит из n ветвей (листов), связанных винтообразно, причём последний лист связан с первым. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Один из листов содержит главные значения корня, получаемые как аналитическое продолжение вещественного корня с положительного луча вещественной оси.

Опишем для простоты комплексную функцию квадратного корня. Её риманова поверхность состоит из двух листов. Первый лист можно представить как комплексную плоскость, у которой вырезан положительный луч вещественной оси. Значения функции корня w на этом листе имеют вдвое меньший аргумент, чем z, и поэтому они заполняют верхнюю часть комплексной плоскости значений. На разрезе первый лист склеен со вторым, и функция непрерывно продолжается через разрез на второй лист, где её значения заполняют нижнюю часть комплексной плоскости значений. Оставшиеся свободными начало первого листа и конец второго тоже склеим, после чего полученная функция на римановой поверхности становится однозначной и всюду непрерывной[18].

Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при z=0. Особые точки: z=0 и z=\infty (точки разветвления бесконечного порядка)[18]. Понятие точки разветвления означает, что замкнутый контур в окрестности нуля неизбежно содержит переход с листа на лист.

В силу односвязности риманова поверхность корня является универсальной накрывающей[19] для комплексной плоскости без точки 0.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Корень n-й степени из a есть решение уравнения ~x^n=a, и его в принципе можно определить всюду, где такое уравнение имеет смысл. Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах. Лучше всего исследованы обобщённые квадратные корни.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня a, b, то ~a^2=b^2, откуда: ~(a-b)(a+b)=0, то есть, в силу отсутствия делителей нуля, ~a=\pm b. В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из -1 образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой[20]:

\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,.

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из неё[en] существует и единственен[21]. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций[22], операторов[23] и других математических объектов.

История[править | править исходный текст]

Развитие понятия[править | править исходный текст]

Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением \sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3
= 1{,}41421296\dots

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач[24]:

Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для ~\sqrt{a} рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа n. Представив подкоренное выражение в виде: a=n^2+r, получаем: ~x_0=n+\frac{r}{2n}, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона[25]:

x_{n+1}=\frac{1}{2}~(x_n + \frac{a}{x_n})\

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для \sqrt{5}, например, ~a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25, и мы получаем последовательность приближений:

 x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»[26]. Древние греки сделали важное открытие: \sqrt{2}иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально[27].

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век)[28].

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал[29] корень n-й степени как возведение в степень \frac{1}{n}.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел[30]. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел[31].

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру[32]. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня[33].

Этимология термина и происхождение символики[править | править исходный текст]

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»)[34].

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень[35] символом Rx, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году[36]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона (XVIII век)[37].

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.
  3. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 64.
  4. Арифметический корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  5. Алгебраический (многозначный) корень в источниках часто называют просто корнем.
  6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 35—36.
  7. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 141—143.
  8. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.
  9. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 183.
  10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 194, 198.
  11. Мордкович А. Г., 2003, с. 236—238.
  12. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 215.
  13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Т. I, С. 233, частный случай для \mu=\frac{1}{n}..
  14. Не путать с кратными интегралами. Их записи весьма похожи, но k-й интеграл является неопределённым, в то время как k-кратный интеграл — определённый.
  15. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 67, 131—132, 164, 166—167.
  16. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 36—37.
  17. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 68. — 591 с.
  18. 1 2 3 Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 96-99, 28—29.
  19. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21).
  20. Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
  21. См., например: Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  22. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  23. См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
  24. История математики, 1970—1972, Том I, С. 42—46.
  25. История математики, 1970—1972, Том I, С. 47.
  26. История математики, 1970—1972, Том I, С. 169—171.
  27. Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — С. 23.. — (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9).
  28. Abhishek Parakh. Ariabhata's root extraction methods // Indian Journal of History of Science. — 2007. — В. 42.2. — С. 149—161.
  29. История математики, 1970—1972, Том I, С. 275—276.
  30. История математики, 1970—1972, Том I, С. 296—298.
  31. История математики, 1970—1972, Том III, С. 56—59.
  32. История математики, 1970—1972, Том III, С. 62.
  33. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I. — С. 58—66..
  34. История математики, 1970—1972, Том I, С. 185.
  35. Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
  36. Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  37. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 82. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4