Арифметический корень

Арифметический корень n-й степени (n > 0) из неотрицательного вещественного числа a — это такое неотрицательное число b, что bⁿ = a.

В поле действительных чисел корень может иметь до двух значений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. Понятие арифметического корня введено, чтобы сделать значение корня (если оно существует) однозначным. Например, квадратный корень из числа $4$ имеет два значения: $2$ и $-2$, из них арифметическим является первое.

Для обозначения арифметического корня обычно используется знак корня, который имеет вид $\sqrt{\,\,}$ (или $\surd{}$). Запись $\sqrt{x}\!\,$ означает корень второй степени из x, называемый чаще квадратным корнем из x, $\sqrt[3]{x}\!\,$ означает кубический корень из x, выражение $\sqrt[n]{x}$ означает корень n-й степени из x. Корень, записанный в данном виде, является функцией и имеет только одно неотрицательное значение. Пример: $~\sqrt{4}\!\, = 2$.

Свойства

• $\sqrt[n]{0} = 0;$

• $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;$

• $\sqrt [n] {a^n}=a; a \geqslant 0$
• $\forall a\geqslant 0,b>0 \qquad \sqrt [n] {\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}$

• $\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.$

• $\sqrt [nk] {a^{mk}}=\sqrt [n] {a^m}, \qquad a>0,n \in \mathbb N$

• $\forall a\geqslant 0,\qquad n,k \in \mathbb N \qquad \sqrt [n] {\sqrt [k] {a}}=\sqrt [nk] {a}$

Обобщения

Дробная степень числа (1+x), где |x|<1, может быть разложена в ряд Тейлора по формуле:

$(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{s/t}{n} x^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (s+t-kt)}{n!\,t^n}\cdot x^{n}.$

Корень комплексного числа

Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

$z = |z| \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right)$.

Тогда

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right)$,

где k = 0, 1, ..., n-1. Корень степени n имеет n значений. Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса $\sqrt[n]{|z|}$ c центром в начале координат.

См. также

• Алгоритм нахождения корня n-ной степени
• Квадратный корень
• Кубический корень