Артиново кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́ртиново кольцо́ (по имени Э.Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов p_1\supset p_2\supset\dots\supset p_n\supset \dots стабилизируется, то есть начиная с некоторого n

p_n=p_{n+1} = \ldots

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение т. н. нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно теореме Хопкинса - Левицкого[en] любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Артинова область целостности является полем.
  • Кольцо с конечным числом идеалов (в частности, конечное кольцо) является артиновым.
  • Если I — ненулевой идеал в дедекиндовом кольце, то факторкольцо по I является артиновым кольцом главных идеалов.[1]
  • Для любого n \ge 1 полное кольцо матриц M_n(R) над левым артиновым (соотв. левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соотв. левым нётеровым).[2]

Коммутативные артиновы кольца[править | править исходный текст]

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Theorem 459 на http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
  2. Cohn 2003, 5.2 Exercise 11
  3. Атья-Макдональд, Глава 8, упражнение 2.
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968
  • Cohn Paul Moritz Basic algebra: groups, rings, and fields. — Springer, 2003. — ISBN 978-1-85233-587-8