Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́ (по имени Э.Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) $p_1\supset p_2\supset\dots\supset p_n\supset \dots$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$

$p_n=p_{n+1} = \ldots$

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение т. н. нётерова кольца.

Несмотря на схожесть определений артиновых и нётеровых колец, на самом деле не все артиновы кольца являются нётеровым. Для коммутативного кольца верна теорема, что кольцо A является артиновым тогда и только тогда, когда оно является нётеровыми и любой простой идеал максимален.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968