Асимптотическая кривая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Асимптотическая кривая — кривая γ на регулярной поверхности F, нормальная кривизна которой

вдоль γ равна нулю.

Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением:

где — вторая фундаментальная форма поверхности.

Асимптотическая кривая

[править] Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой γ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.
• Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности F (теорема Бельтрами — Эннепера).
• Прямолинейный отрезок на F всегда является асимптотической кривой.
• Параболическая кривая всегда является асимптотической кривой. Например,
  • параллель тора, разделяющая области с гауссовой кривизной разных знаков
  • ребро возврата на псевдосфере.
• Через каждую точку параболической области (где K = 0, но ) проходит единственная асимптотическая кривая, совпадающая с прямолинейной образующей.
• Через каждую точку гиперболической области (где K < 0) проходят две и только две асимптотические кривые, составляющие так называемую асимптотическую сеть.
  • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырехугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над 2π (формула Хаццидакиса).
  • На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании π пространства асимптотические кривые поверхности F переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности π(F).