Асимптотическое разложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда аппроксимирует функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть функции \varphi_{n} удовлетворяют свойству: \varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \  (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N для некоторой предельной точки L области определения функции f(x). Последовательность функций \varphi_{n}, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x), для которого выполняются условия :f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \  (x \rightarrow L)

или эквивалентно:

f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \  (x \rightarrow L).

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

 f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x)  \  (x \rightarrow L).

Асимптотическое разложение Эрдейи[править | править вики-текст]

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x) называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность \psi_{n}, что

f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \  (x \rightarrow L).

Этот факт отражается:

 f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x)  \  (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}.

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто малополезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры[править | править вики-текст]

\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots
 \  (x \rightarrow \infty)
xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \   (x \rightarrow \infty)
\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} +
N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}
где B_{2m} — числа Бернулли и s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2). Это разложение справедливо для всех комплексных s.
 \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.
  • Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит[1]:
\frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\  \{(\log x)^{-n}\}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
  • Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962
  • Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975