Атомарная функция

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

$L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),$

где $L$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты $a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R}$, причём $|a|>1$.

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция $\operatorname {up} (x)$ (читается: «ап от $x$»)  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

${\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)$

с носителем $\operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),$ которое удовлетворяет условию нормировки $\operatorname {up} (0)=1$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно).

Атомарная функция $\mathrm {up} (x)$ и её производная

Преобразование Фурье функции $\operatorname {up} (x)$ имеет вид

${\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},$

где $\operatorname {sinc} =\sin {x}/x$ — sinc-функция.

Функция $\operatorname {up} (x)$ — чётная, возрастает на интервале $[-1,\;0]$, убывает на интервале $[0,\;1],$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, $\operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)$ при $x\in [0,\;1]$. Таким образом, целочисленные сдвиги $\operatorname {up} (x)$ образуют разбиение единицы:

$\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {up} (x-j)\equiv 1.$

Значения $\operatorname {up} (x)$ в двоично-рациональных точках вида $2^{-n}k$ — рациональные числа. Функция $\operatorname {up} (x)$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения $\operatorname {up} (x)$ в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции $\operatorname {up} (x)$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий $\operatorname {up} (x)$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h_a(x), совершенные сплайны

Атомарные функции $\operatorname {h} _{a}(x)$ (при $a>1$) являются обобщением функции $\operatorname {up} (x)$. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид

${\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).$

Таким образом, $\operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).$ Преобразование Фурье функции $\operatorname {h} _{a}(x)$ имеет вид

${\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},$

следовательно, функции $\operatorname {h} _{a}(x)$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов $M$ бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов $\operatorname {h} _{a,M}(x)$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

${\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h} _{a,M-1}(ax+1)-\operatorname {h} _{a,M-1}(ax-1).$

Обобщённая теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций $\operatorname {h} _{a}(x)$ расположены регулярным образом в точках $a\pi n$ $(n\neq 0)$. В связи с этим любую непрерывную функцию $f(x)$ с финитным спектром $(\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])$ можно разложить в ряд

$f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatorname {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right],$

где $a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)$.

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым, а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом.

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе 1971 года. Обстоятельства появления функции $\operatorname {up} (x)$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции.

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение». В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы.

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова

Литература

• Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979. — 196 с.
• Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с.
• Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — Т. 14. — 272 с. — С. 103—260.
• Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 512 с. — ISBN 5-93108-019-8.