Атом (теория меры)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение[править | править вики-текст]

Если есть измеримое пространство (X, \Sigma) и мера \mu на этом пространстве, то множество A из \Sigma называется атомом, если

 \mu (A) >0\,

и для любого измеримого подмножества B множества A из

 \mu(A) > \mu (B) \,

следует, что

 \mu(B) = 0. \,

Примеры[править | править вики-текст]

Безатомные меры[править | править вики-текст]

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества A с  \mu (A) >0 существует такое измеримое подмножество B множества A, что

 \mu(A) > \mu (B) > 0. \,

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой  \mu (A) >0 можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

A=A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots

такую, что

\mu(A)=\mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с \mu (A) >0, то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

\mu (A) \geq b \geq0\,

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

\mu(B)=b.\,

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. [1] [2] Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство (X,\Sigma, \mu) и \mu(X)=c, то существует функция S:[0, c]\to\Sigma, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех 0\leq t \leq t'\leq c

S(t)\subset S(t'),
\mu\left (S(t)\right)=t.

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

\Gamma:=\{S:D\to\Sigma\; :\; D\subset[0,\,c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \forall t\in D\; (\mu\left (S(t)\right)=t)\},

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в \Gamma имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент \Gamma имеет область определения [0,c], что и доказывает утверждение.

См. также[править | править вики-текст]


Ссылки[править | править вики-текст]

  1. W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
  2. Fryszkowski, Andrzej Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications). — Springer. — P. 39. — ISBN 1-4020-2498-3
  • Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis. — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X
  • Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6