Аттрактор Рёсслера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера[1]:

 \left \{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt} = -y - z \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \\ \frac{dz}{dt} = b + z(x-c) \end{matrix} \right.  ;

где  a,b,c  — положительные постоянные. При значениях параметров  a = b = 0,2 и  2, 6 \le c \le 4,2 уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода. Сразу же за точкой  c = 4,2 возникает явление хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных a = 0.2, b = 0.2 и c = 5.7, но также часто используются и значения a = 0.1, b = 0.1, and c = 14[2].

Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с z = 0.

 \left \{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt} = -y \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \end{matrix} \right.

Устойчивые решения для x, y могут быть найдены вычислением собственного вектора матрицы Якоби вида \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & a\\\end{pmatrix}, для которой  \frac {a \pm \sqrt{a^2 - 4}} {2} .

x,y plane of Rössler attractor with a=0.2, b=0.2, c=5.7
Аттрактор Рёсслера как стереограмма с a=0.2, b=0.2, c=14

Отсюда видно, что когда 0 < a < 2 собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассмотривать плоскость  Z в том же диапазоне  a .Пока  x меньше  c , параметр c буде удерживать траекторию близкую к плоскости x, y. Как только  x станет больше c,  z -координата начнёт увеличиваться, а чуть позже параметр  -z будет тормозить рост  x в \frac {dx} {dt}.

Точки равновесия[править | править вики-текст]

Для того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и  xyz -координаты каждой точки равновесия находятся путем решения полученных уравнений. В итоге:

 \left \{ \begin{matrix} x = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2} \\ y = -\left(\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right) \\ z = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a} \end{matrix} \right.

Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёссела, одна из этих неподвижных точек находится в центре аттрактора, а другие лежат сравнительно далеко от центра.

Изменение параметров a, b и c[править | править вики-текст]

Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего система может сойтись к периодической орбите, к неподвижной точке или устремиться в бесконечность. Количество периодов аттрактора Рёсслера определяется числом его витков вокруг центральной точки, которые возникают перед серией петель.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в которые включён и аттрактор Рёсслера. Они создаются путем решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра a[править | править вики-текст]

Зафиксируем  b = 0.2 ,  c = 5.7 и будем изменять a.

В итоге опытным путём получим такую таблицу:
  • a \leq 0: Сходится к устойчивой точке.
  • a = 0.1 : Крутится с периодом 1.
  • a = 0.2 : Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
  • a = 0.3: Хаотичный аттрактор.
  • a = 0.35: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
  • a = 0.38: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра b[править | править вики-текст]

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying b

Зафиксируем  a = 0.2,  c = 5.7 и будем менять теперь параметр b. Как видно из рисунка, при b стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда b станет больше a и c, система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра c[править | править вики-текст]

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying c

Зафиксируем  a = b = 0.1 и будем изменять  c . Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких  c система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. рисунки показывают как именно меняется хаотичность системы при увеличении  c . Например при  c = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда  c = 3 и так далее; пока  c не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений  c , которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Variations in the post-transient Rössler system as  is varied over a range of values.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), "12.3 The Rössler Attractor", «Chaos and Fractals: New Frontiers of Science», Springer, сс. 636–646 .
  2. Letellier, C.; V. Messager (2010). «Influences on Otto E. Rössler’s earliest paper on chaos». International Journal of Bifurcation & Chaos 20 (11): 3585–3616.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.