База топологии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

База топологии (база топологического пространства,базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства X такое, что любое открытое множество в X представимо в виде объединения элементов этого семейства. Это одно из основных понятий в топологии. Часто, рассматривая открытые множества некоторого пространства, бывает достаточно ограничиться множествами из некоторой его базы. У топологическое пространства может быть много различных баз. Наибольшая из баз пространства — семейство всех открытых множеств.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение[править | править вики-текст]

Семейство \mathfrak{B} открытых множеств топологического пространства X называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из X представимо в виде объединения элементов семейства \mathfrak{B}.

Семейство \mathfrak{B} открытых множеств топологического пространства X является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки x пространства X и её окрестности U найдётся множество V из \mathfrak{B} такое, что x\in V\subset U.

Вес топологического пространства[править | править вики-текст]

Минимум мощностей всех баз пространства X называется весом топологического пространства X и обозначается w(X).

  • Для каждой базы \mathfrak{B} существует подмножество \mathfrak{B}_0, являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
  • Если вес пространства X не более, чем счетный (то есть X имеет счётную базу), то X называют пространством со второй аксиомой счетности.
  • В пространстве веса \tau существует всюду плотное множество мощности \leqslant \tau.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Локальная база пространства X в точке x \in X (база точки x) — семейство \mathfrak{B}(x) окрестностей точки x со свойством: для любой окрестности O_x точки x найдется элемент V \in \mathfrak{B}(x) такой, что x \in V \subset O_x.
    • Минимум мощностей всех локальных баз пространства X в точке x \in X называется характером пространства X в точке x и обозначается \chi(x,X).
    • Супремум характеров пространства X во всех точках x\in X называется характером пространства X и обозначается \chi(X).
    • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
    • Семейство \mathfrak{B} открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки x \in X подсемейство \mathfrak{B}(x) всех элементов \mathfrak{B}, содержащих точку x является локальной базой точки x.
  • Система окрестностей — это семейство \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}, такое, что \mathfrak{B}(x) является локальной базой пространства X в точке x для каждого x\in X.
  • Предбаза — семейство Y открытых подмножеств топологического пространства X такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов Y, образует базу X.
  • Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
  • \pi-база (решёточная база) — семейство \mathfrak{B} непустых открытых подмножеств пространства X такое, что всякое непустое открытое в X множество содержит множество из \mathfrak{B}, т. е. \mathfrak{B} плотно в X по Хаусдорфу. Любая база есть \pi-база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха \beta \mathbb{N} множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества \mathbb{N} является \pi-базой, но не является базой.
  • Псевдобаза

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей[править | править вики-текст]

  • Семейство \mathfrak{B} подмножеств произвольного множества X является базой некоторой топологии на X в том, и только в том случае, когда \mathfrak{B} удовлетворяет следующим условиям:
  1. Каждая точка x\in X принадлежит некоторому множеству U из семейства \mathfrak{B}.
  2. Для любых множеств U,V\in \mathfrak{B} и точки x\in U\cap V существует множество W\in \mathfrak{B} такое, что x\in W\subset U\cap V.
В этом случае \mathfrak{B} является базой топологии на X, в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из \mathfrak{B}. Такую топологию называют топологией, порождённой базой \mathfrak{B}.
  • Для того, чтобы семейство \mathfrak{B} подмножеств произвольного множества X было предбазой некоторой топологии на X необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из \mathfrak{B}. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой \mathfrak{B}. Это наименьшая топология, содержащая семейство \mathfrak{B}.
  • Совокупность \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} семейств подмножеств произвольного множества X является системой окрестностей некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
  1. Для каждого x\in X семейство \mathfrak{B}(x) непусто и x\in U для любого U\in \mathfrak{B}(x).
  2. Для всякого y\in U\in \mathfrak{B}(x) найдётся V\in \mathfrak{B}(y) такое, что V\subset U.
  3. Для всяких множеств V,W\in \mathfrak{B}(x) существует U\in \mathfrak{B}(x), такое, что U\subset V\cap W.
В этом случае \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} является системой окрестностей топологии на X, состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства \bigcup_{x\in X} \mathfrak{B}(x). Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}.

Примеры[править | править вики-текст]

\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}
При этом топология на X\times Y не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.
  • Топология пространства действительных чисел \R задаётся системой всех интервалов (a,b), которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства {\R}^n задаётся базой открытых брусов (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n), и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
  • Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
  • Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

Специальные виды баз[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
  • Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
  • Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
  • Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

Ссылки[править | править вики-текст]