База топологии

База топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства) — семейство открытых подмножеств топологического пространства $X$ такое, что каждое открытое множество в $X$ является объединением элементов базы. Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Топологическое пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Примеры

• Если $X$ и $Y$ — топологические пространства с базами топологий $\mathfrak{B}_X$ и $\mathfrak{B}_Y$, тогда топология на декартовом произведении $X\times Y$ задаётся с помощью базы

$\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}$
При этом топология на $X\times Y$ не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

• Топология пространства действительных чисел $\R$ задаётся системой всех интервалов $(a,b)$, которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства ${\R}^n$ задаётся базой открытых брусов $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$, и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.

Связанные определения

• Инфимум мощностей всех баз называется весом топологического пространства X.
  • В пространстве веса $\tau$ существует всюду плотное множество мощности $\leqslant \tau$.
  • Пространства со счетной базой называются также пространствами со второй аксиомой счетности.
• Локальной базой пространства X в точке $x \in X$ (базой точки $x$) называется семейство $\mathfrak{B}(x)$ его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности $O_x$ точки $x$ найдется элемент $V \in \mathfrak{B}(x)$ такой, что $x \in V \subset O_x$.
  • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
• Пусть $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$ — некоторые кардинальные числа. База $\mathfrak{B}$ пространства X называется $\mathfrak{m}$-точечной, если каждая точка $x \in X$ принадлежит не более чем $\mathfrak{m}$ элементам семейства $\mathfrak{B}$. В частности, при $\mathfrak{m}=1$ база называется дизъюнктной, при конечном $\mathfrak{m}$ — точечно конечной, при $\mathfrak{m}=\aleph_0$ — точечно счетной.
• База $\mathfrak{B}$ пространства X называется $\mathfrak{m}$-локальной, если для каждой точки $x \in X$ существует ее окрестность $O_x$, пересекающаяся с не более чем $\mathfrak{m}$ элементами семейства $\mathfrak{B}$. В частности, при $\mathfrak{m}=1$ база называется дискретной, при конечном $\mathfrak{m}$ — локально конечной, при $\mathfrak{m}=\mathcal{X}_0$ — локально счетной.
• База $\mathfrak{B}$ называется $\mathfrak{n}-\mathfrak{m}-$-точечной ($\mathfrak{n}-\mathfrak{m}-$-локальной), если она является объединением множества мощности $\mathfrak{n}\mathfrak{m}$-точечных ($\mathfrak{m}$-локальных) баз. Таковы, например, при $\mathfrak{n}=\aleph_0$ $\sigma$-дизъюнктные, $\sigma$-точечно конечные, $\sigma$-дискретные, $\sigma$-локально конечные базы.
  • Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной базой или с первой аксиомой счетности и точечно счетной базой метризуемо; регулярное пространство с $\sigma$-дискретной или с $\sigma$-локально конечной базой метризуемо (обратное верно только для первого утверждения).
• База $\mathfrak{B}$ пространства X называется равномерной (k-равномерной), если для каждой точки $x \in X$ (каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее (его) окрестности $Ox(OF)$ лишь конечное число элементов базы содержит x (пересекается с F) и одновременно пересекается с дополнением $X\smallsetminus Ox(X\smallsetminus OF)$.
  • Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной базой (колмогоровским, или $T_0$-пространством с k-равномерной базой).
• База $\mathfrak{B}$ пространства $X$ называется регулярной, если для каждой точки $x \in X$ и произвольной её окрестности $O_x$ существует такая окрестность $O'_x$, что множество всех элементов базы, пересекающихся одновременно с $O'_x$ и $X\smallsetminus O_x$, конечно.

Свойства

• Семейство $\mathfrak{B}$ открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда оно является локальной базой каждой его точки $x \in X$.
• Для метризуемости достижимого или T¹-пространства необходимо и достаточно наличия в нём регулярной базы.

Объекты, определённые в терминах баз

• Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
• Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.
• Пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счётности — это пространство, которое имеет счётную базу.
• Дискретная топология имеет в качестве базы синглетон.

Вариации и обобщения

• Существует двойственное понятие замкнутой базы, образованной дополнениями к элементам базы, но оно мало употребительно.
• Обобщением понятия базы является так называемая $\pi$-база (решеточная база) — семейство $\mathfrak{B}$ открытых в пространстве X множеств такое, что каждое непустое открытое в X множество содержит непустое множество из $\mathfrak{B}$, т. е. $\mathfrak{B}$ плотно в X по Хаусдорфу. Всякая база является $\pi$-базой. Обратное неверно, например, в бикомпактном расширении Стоуна — Чеха в $\mathbb{Z}^{+}$ множества натуральных чисел множество $\mathbb{Z}^{+}$ образует лишь $\pi$-базу.
• Предбаза — семейство $Y$ открытых подмножеств топологического пространства $X$ такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов $Y$, образует базу $X$.
• Псевдобаза

Литература

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
• Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
• Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
• Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
• Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968