Базис Грёбнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ба́зис Грёбнера некоторого идеала I алгебры многочленов K[x_1,\ldots,x_n] относительно порядка «\prec» на мономах — это конечное множество G многочленов из K[x_1,\ldots,x_n] порождающее идеал I и обладающее следующим дополнительным свойством: старший (относительно \prec) член каждого многочлена из I делится на старший член хотя бы одного многочлена из G. При этом порядок \prec обязан быть полным и дополнительно удовлетворять двум условиям:

  1. Мультипликативность: x^a\prec x^b влечёт x^{a+c}\prec x^{b+c}.
  2. Минимальность единицы: 1\prec x^a, для a>0.

Виды базисов Грёбнера[править | править вики-текст]

Минимальный базис Грёбнера[править | править вики-текст]

Минимальным базисом Грёбнера полиномиального идеала I называется его базис Грёбнера G, такой, что:

  1. Коэффициент при старшем мономе каждого p \in G равен единице.
  2. Старший моном каждого p \in G не делится ни на один старший моном других элементов базиса.

Редуцированный базис Грёбнера[править | править вики-текст]

Редуцированным базисом Грёбнера полиномиального идеала I называется его базис Грёбнера G, такой, что:

  1. Коэффициент при старшем мономе каждого p \in G равен единице.
  2. Никакой из мономов никакого p \in G не делится ни на один старший моном других элементов базиса.

Для редуцированного базиса Грёбнера идеала верно следующее утверждение:

Пусть I — полиномиальный идеал, и задано некоторое мономиальное упорядочение. Тогда существует единственный редуцированный базис Грёбнера идеала I.

Алгоритмы построения[править | править вики-текст]

Самым первым алгоритмом построения редуцированного базиса Грёбнера идеала считается алгоритм Бухбергера. Интересно, что известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений является частным случаем алгоритма Бухбергера.

Кроме того, французским математиком Жаном-Шарлем Фожером были предложены алгоритмы F4 и F5 нахождения базиса Грёбнера.

Применения[править | править вики-текст]

Базис Грёбнера является важнейшим понятием компьютерной алгебры, алгебраической геометрии и вычислительной коммутативной алгебры.

История[править | править вики-текст]

Австрийский математик Вольфганг Грёбнер разработал теорию стандартных базисов для свободного коммутативного случая в начале 1930-х годов, а опубликовал её в статье 1950 года,[1] где он написал:

«

Я начал использовать этот метод 17 лет назад для различных примеров, в том числе и очень сложных.

»

В 1964 году аналогичная концепция для локальных колец была разработана Хэйсукэ Хиронакой, получившим Филдсовскую премию в 1970 году. Он назвал введённые системы полиномов стандартным базисом.

Понятие базиса Грёбнера было введено в 1965 году австрийским математиком Бруно Бухбергером, бывшим студентом Грёбнера. Бухбергер предложил конструктивную процедуру построения базиса Грёбнера в виде эффективного компьютерного алгоритма, впоследствии получившего название алгоритма Бухбергера.

Существование стандартного базиса идеала опирается на «лемму о композиции», которая впервые была доказана для самого сложного из известных случаев (свободных алгебр Ли) А. И. Ширшовым.[2] При этом правильность аналогичного утверждения для свободного ассоциативного и коммутативного случая считалась очевидной и не привлекала особого внимания вплоть до более поздних работ Л. И. Бокутя по теории вложений ассоциативных колец в тела и кольца с заданными свойствами. В 1972 году Л. И. Бокуть опубликовал «лемму Ширшова о композиции» для свободного ассоциативного случая в записках курса по ассоциативным алгебрам Новосибирского университета. Отсюда и из устного общения она стала известна американскому алгебраисту Дж. Бергману, который опубликовал её в 1979 году под названием «Diamond Lemma» (Алмазная Лемма), впрочем, строгое доказательство в работе отсутствовало, и была обозначена только мнемоническая схема «слияния», необходимая для понимания идеи Ширшова о композиции. После публикации Бергмана «Алмазная Лемма» стала популярна среди алгебраистов и геометров, она также привлекла внимание к «базису Грёбнера» Бухбергера. В середине 1980-х годов стандартный базис для супералгебр и цветных алгебр Ли был построен московским алгебраистом А. А. Михалёвым.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. W. Gröbner (1950). «Über die Eliminationstheorie». Monatshefte für Mathematik 54: 71-78.
  2. СМЖ, 1962, т. 3, №2, с. 292-296.

Ссылки[править | править вики-текст]