Базис Рисса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Система Рисса с постоянными A и B — такая система векторов \{f_n\}_{n=1}^\infty \in H в гильбертовом пространстве H, что для любой последовательности комплексных чисел c=\{c_n\}_{n=1}^\infty \in l_2 ряд \sum_{n=1}^\infty c_nf_n сходится по норме в H, причем A\|c\|^2_{l_2}\leqslant \left\| \sum_{n=1}^\infty c_n f_n \right\|^2_H \leqslant B\|c\|^2_{l_2},

Базис Рисса — такая система Рисса, которая является базисом в H (базисом Шаудера).

Базис Рисса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя. Другое название базисов Рисса — базисы, эквивалентные ортонормированным.

Система векторов является базисом Рисса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.

Свойства базисов Рисса[править | править вики-текст]

Любая система Рисса является базисом Рисса в пространстве V=\left\{ f=\sum_{n=1}^\infty c_n f_n, ~~\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2 < \infty \right\}, при этом для любого элемента f\in V выполняется неравенство A\|f\|^2 \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}|(f, f_n)|^2 \leqslant B \|f\|^2

Любой базис Рисса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.

Литература[править | править вики-текст]