Банахова алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

 \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq  \|x \| \, \| y\| .

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом \mathbf{1}, что для всех x \in A справедливо x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x ). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру A можно изометрически вложить в унитальную банахову алгебру A_e в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Поля комплексных чисел или действительных чисел\mathbb{C} и \mathbb{R} относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
  • Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
  • Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
  • C( \Omega ) — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — C_0( \Omega ) — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где \Omegaлокально компактное пространство.
  • Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
  • Если G — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара \mu, то банахово пространство L_1(G) интегрируемых относительно меры \mu комплекснозначных функций на G является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле
(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \in G.
  • L_1(\mathbb R) — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
  • C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: \forall a \ ||a^*a||=||a||^2

Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остается справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов \mathrm{Inv}(A) алгебры A является открытым множеством. При этом отображение \mathrm{Inv}, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, \mathrm{Inv}(A) — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: xy - yx \ne \mathbf{1}  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что \lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0 также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна \mathbb{C}.

Спектральная теория[править | править вики-текст]

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент a \in A алгебры A называется обратимым, если найдется такой элемент a^{-1} \in A, что aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}. Спектром  \sigma(a) элемента a называется множество таких \lambda \in \mathbb{C}, что элемент a-\lambda \mathbf{1} необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта K \subset \mathbb{C} спектр элемента w из алгебры C(K), определяемого по формуле w(z)=z, совпадает с K, поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом \mathrm{r}(x) элемента x \in A называется величина

\mathrm{r}(x) = \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}.

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

Резольвентным множеством элемента a \in A называется множество \rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a). Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента a \in A называется функция комплексной переменной R_a \colon \rho(a) \to A, определяемая формулой R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}. Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если f — голоморфная в окрестности D \subset \mathbb{C} спектра \sigma(a) функция, можно определить f(a) \in A по формуле

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda,

где \gamma — спрямляемый жорданов контур, лежащий в D, содержащий спектр элемента x и ориентированный положительно, а R_a — резольвента элемента a. В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характеры[править | править вики-текст]

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, bA справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и \mathbb{C}. Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если \mathfrak{m} — максимальный идеал, то факторалгебра A/\mathfrak{m} является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна \mathbb{C}. Поэтому каждому максимальному идеалу \mathfrak{m} можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = \mathfrak{m}. Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма A/\mathfrak{m} в \mathbb{C}. Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec Aкомпактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента a алгебры A называется непрерывная функция \hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}, определяемая по формуле \hat{a}(\chi) = \chi(a) для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

Литература[править | править вики-текст]

  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
  • Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8
  • Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5