Банахова алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:  \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq  \|x \| \, \| y\| . Алгебра называется унитальной, если она обладает единицей (то есть таким элементом 1_{A}, что \forall x \in A \ x1_{A}=1_{A}x=x иногда этот элемент записывают просто как 1, если нет опасности путаницы). Если единица существует, то она единственна. Элементы a и b называются перестановочными, если ab=ba. Алгебра называется коммутативной, если все ее элементы перестановочны. Элемент алгебры называется обратимым, если \ \exists a^{-1}: \ aa^{-1}=a^{-1}a=1_A. Спектром  \sigma(a) элемента a называется множество таких \lambda \in \mathbb{C}, что a-\lambda\cdot 1 необратим.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Поля комплексных чисел или действительных чисел — \mathbb{C} и \mathbb{R} относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
  • Комплексные или действительные матрицы относительно матричного умножения и какой-нибудь матричной нормы.
  • Алгебра кватернионов является действительно алгеброй с нормой — модулем.
  • C( \Omega ) — пространство непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — C_0( \Omega ), где \Omega — локально компактное пространство.
  • Пространство ограниченных операторов относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Пространство компактных операторов относительно тех же операций.
  • L_1(R) относительно умножения — свертки.
  • C*-алгебра[en] — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: \forall a \ ||a^*a||=||a||^2

Свойства[править | править исходный текст]

  • Обратимые элементы образуют группу Inv(A). Отображение Inv, сопоставляющее каждому элементу обратный непрерывно на Inv(A)
  • Inv(A) — открытое множество.
  • Теорема Гельфанда-Мазура : каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы изоморфна \mathbb{C}
  • В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: xy - yx \ne \mathbf{1}  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что \lambda 1 \ \lambda \ne 0 также не является коммутатором.
  • Все характеры (гомоморфизмы в \mathbb{C}) являются сжимающими операторами.
  • Если I-замкнутый идеал, то факторалгебра A/I с факторнормой является банаховой алгеброй.

Спектры[править | править исходный текст]

  • Спектр элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. Для любого компакта K спектр w(z)=z на C(K) совпадает с K, то есть других ограничений нет.
  • Спектральным радиусом R элемента x называется \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}. Для него верна формула спектрального радиуса  R = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.
  • Если \varphi: A \to B -унитальный (переводящий единицу A в единицу B) гомоморфизм, то для любого a \in A выполнено \sigma_{B}(\varphi(a)) \subseteq \sigma_A(a). То есть при гомоморфизме спектр либо сохраняется, либо уменьшается.
  • Если p\in\mathbb{C}[t]  — многочлен с комплексными коэффициентами, тогда p(\sigma (a))=\sigma (p(a)) . Это утверждение также верно для любой голоморфной функции p, в частности, для синуса, логарифма и экспоненты.

Литература[править | править исходный текст]

  • Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8