Банахово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа. Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства, используя введённую им аксиоматику.

Примеры[править | править вики-текст]

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через K обозначено одно из полей \R или \C):

  • Евклидовы пространства K^n с евклидовой нормой, определяемой для x=(x_1,\;\ldots,\;x_n) как \|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2}, являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций f\colon[a,\;b]\to K, определённых на закрытом интервале [a,\;b] будет банаховым пространством, если мы определим его норму как \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,\;b]\}. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как C[a,b]. Этот пример можно обобщить к пространству C(X) всех непрерывных функций X\to K, где X — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций X\to K, где X — любое топологическое пространство, или даже к пространству B(X) всех ограниченных функций X\to K, где X — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
  • Если p\geqslant 1 — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей (x_1,\;x_2,\;x_3,\;\ldots) элементов из K, таких что ряд \sum|x_i|^p сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени p из суммы этого ряда, и обозначается l^p.
  • Банахово пространство l^\infty состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из K; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
  • Снова, если p\geqslant 1 — вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму f. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: f и g эквивалентны тогда и только тогда, когда норма f-g равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как L^p[a,\;b]. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
  • Если X и Y — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму X\oplus Y, которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если M — замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпространство X/M снова является банаховым.
  • Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
  • Если V и W — банаховы пространства над одним полем K, тогда множество непрерывных K-линейных отображений A\colon V\to W обозначается L(V,\;W). Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. L(V,\;W) — векторное пространство, и, если норма задана как \|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}, является также и банаховым.
    • Пространство L(V)=L(V,\;V) представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]