Барицентрические координаты

Барицентрические координаты — координаты точки $n$-мерного аффинного пространства $A^n$, отнесенные к некоторой фиксированной системе из $(n+1)$-ой точки $p_0,p_1,\ldots,p_n$, не лежащих в $(n-1)$-мерном подпространстве.

Пусть $z$ есть произвольная точка в $A^n$. Каждая точка $x\in A^n$ может быть единственным образом представлена в виде суммы

$x=z+\alpha_0\cdot\overrightarrow{zp}_0+\alpha_1\cdot\overrightarrow{zp}_1+\ldots+\alpha_n\cdot\overrightarrow{zp}_n,$

где $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ — вещественные числа, удовлетворяющие условию

$\alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_n=1.$

Числа $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ называются барицентрическими координатами точки $x$. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора $z$.

Точка $x$ является центром тяжести масс $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, расположенных в точках $p_0,p_1,\ldots,p_n$.

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в $p_0,p_1,\ldots,p_n$ неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты $\alpha_i$ равносильно тому, что точка лежит на плоскости содержащей грань симплекса, противоположной вершине $p_i$. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 году.

См. также

• Трилинейные координаты