Барицентрические координаты

Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат») в $n$-мерном аффинном пространстве $A$  представляет собой систему из $(n+1)$-й точки $P_0, P_1, \ldots, P_n$,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в $(n-1)$-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение

Пусть $P$ есть произвольная точка в $A$.  Каждая точка  $M\in A$  может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации

$M = P + \alpha_0\cdot\overrightarrow{PP}_0+\alpha_1\cdot\overrightarrow{PP}_1+\ldots+\alpha_n\cdot\overrightarrow{PP}_n;$

барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$ (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию

$\alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_n=1.$

Барицентрические координаты (λ1,λ2,λ3) на равностороннем треугольнике и на прямоугольном треугольнике

Числа $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$  и называются барицентрическими координатами точки $M$.  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора $P$.

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

$M = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \ldots + \alpha_n P_n.$

Свойства

• Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
• Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в $P_0, P_1, \ldots, P_n$ неотрицательны и их сумма равна единице.
• Обращение в нуль барицентрической координаты $\alpha_i$ равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине $P_i$. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.

Механическая интерпретация

Точка $M$ является центром масс $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$, расположенных в точках $P_0, P_1, \ldots, P_n$.

История

Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1828 г.

Литература

• Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.

См. также

• Трилинейные координаты
• Аффинные преобразования
• Аффинное пространство