Барометрическая формула

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести в стационарных условиях.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру $T$ и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения $g$ одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

p=p_{0}\exp \left[-Mg{\frac {h-h_{0}}{RT}}\right],

где $p$ — давление газа в слое, расположенном на высоте $h$ , $p_{0}$ — давление на нулевом уровне ( $h=h_{0}$ ), $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул $n$ (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

n=n_{0}\exp \left[-mg{\frac {h-h_{0}}{kT}}\right],

где $m$ — масса молекулы газа, $k$ — постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла — Больцмана). При этом должны выполняться три условия: стационарность, постоянство температуры газа с высотой и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина $mg{\frac {h-h_{0}}{kT}}$ , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной $kT$ . Чем выше температура $T$ , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести $mg$ (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести $mg$ может изменяться за счёт двух величин: ускорения свободного падения $g$ и массы частиц $m$ .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура меняется с высотой и во времени; ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования — метода определения разности высот $\Delta h$ между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( $p_{1}$ и $p_{2}$ ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде:

\Delta h=18400(1+at)\lg(p_{1}/p_{2}),

(в м)

где $t$ — средняя температура (по шкале Цельсия) слоя воздуха между точками измерения, $a$ — температурный коэффициент объёмного расширения воздуха (0,003665 при 0 °С). Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1—0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.