Безусловная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, ряд \sum_{n=1}^\infty x_n в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки \sigma: \N \to \N ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} является сходящимся.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Если ряд \sum_{n=1}^\infty x_n является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент x \in X, такой, что \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} = x, для произвольной перестановки \sigma: \N \to \N.
  • Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rn, тогда вследствие теоремы Римана, ряд \sum x_n является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
  • Если \{x_n\}\, последовательность элементов гильбертового пространства H, то из безусловной сходимости ряда \sum_{n=1}^\infty x_n следует \sum_{n=1}^\infty \lVert x_n \rVert^2 < \infty.

Эквивалентные определения[править | править исходный текст]

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

  • для произвольной последовательности (\varepsilon_n)_{n=1}^\infty, где \varepsilon_n\in\{-1, +1\}, ряд \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n является сходящимся.
  • для произвольной последовательности (\alpha_n)_{n=1}^\infty, такой, что \sup_n  |\alpha_n| < \infty, ряд \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n является сходящимся.
  • для произвольной последовательности 1 \leq k_1 < k_2 < \ldots , ряд \sum_{n=1}^\infty x_{k_n} является сходящимся.
  • для произвольного \epsilon > 0 существует конечное подмножество I \subset \N, такое, что \lVert \sum_{i \in J} x_i \rVert\, < \epsilon для произвольного конечного подмножества J \subset \N \setminus I

Пример[править | править исходный текст]

Пусть дано пространство l^p\,, где 1 \leqslant p < \infty — банахово пространство числовых последовательностей с нормой  \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}. Рассмотрим в нём последовательность x_n = (0, \ldots, \frac{1}{n}, 0, \ldots), где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]