Березиниан

В математике и теоретической физике, березиниан или супердетерминант является обобщением определителя на случай суперматриц. Назван в честь Феликса Березина. Березиниан играет роль, аналогичную определителю, когда рассматриваются изменения координат для интеграции на супермногообразии.

Определение

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• $\operatorname{Ber}(XY) = \operatorname{Ber}(X)\operatorname{Ber}(Y)$
• $\operatorname{Ber}(e^X) = e^{\operatorname{str(X)}}\,$

где str(X) обозначает суперслед от X. В отличие от классического определителя, березиниан определён только для обратимых суперматриц.

Свойства

• Березиниан из X всегда является единицей кольца R₀.
• $\operatorname{Ber}(X)^{-1} = \operatorname{Ber}(X^{-1})$
• $\operatorname{Ber}(X^T) = \operatorname{Ber}(X)$ где $X^T$ обозначает супертранспозицию X.
• $\operatorname{Ber}(X\oplus Y) = \operatorname{Ber}(X)\mathrm{Ber}(Y)$