Бесконечно делимое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение[править | править исходный текст]

Случайная величина Y называется бесконечно делимой, если для любого n \in \mathbb{N} она может быть представлена в виде

Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i,

где \left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n - независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений[править | править исходный текст]

\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}}(t).

  • Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
  • Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
  • Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений[править | править исходный текст]

Теорема Колмогорова[править | править исходный текст]

Для того, чтобы функция распределения \Phi(x) c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции имел вид: \ln \phi(t) = i \gamma t + \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{itx} - 1 - itx}{x^2} dG(x) , где \gamma - вещественная постоянная, а G(x) - неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина[править | править исходный текст]

Пусть \phi(t) - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на \mathbb{R}. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, такая что

\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)

Примеры[править | править исходный текст]

m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}

для некоторого \lambda > 0. Тогда случайная величина X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, имеющая вид

X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}

не является бесконечно делимой.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]