Бета-функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как

\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} \; ,

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx \; ,

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями[править | править исходный текст]

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,\tfrac{1}{4}\right)-\zeta\left( s, \tfrac{3}{4}\right) \right)\; .

Бета-функция Дирихле также связана с функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

\beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s, \tfrac{1}{2}\right) \; .

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.

Функциональное соотношение[править | править исходный текст]

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) 
\cos\left(\tfrac{1}{2}\pi s\right)\,\beta(1-s) \; ,

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения[править | править исходный текст]

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

\beta(0)\;=\;\tfrac{1}{2},
\beta(1)\;=\;\tfrac{1}{4}\pi,
\beta(2)\;=\;G,
\beta(3)\;=\;\tfrac{1}{32} \pi^3,
\beta(4)\;=\;\tfrac{1}{768}\left(\psi_3\left(\tfrac{1}{4}\right)-8\pi^4\right),
\beta(5)\;=\;\tfrac{5}{1536} \pi^5,
\beta(7)\;=\;\tfrac{61}{184320} \pi^7,
\beta(9)\;=\;\tfrac{1385}{41287680} \pi^9,

где Gпостоянная Каталана, а {\textstyle {\psi_3(\frac{1}{4})} } — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае, для любого положительного целого k,

\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}},

где E2kчисла Эйлера (англ. Euler numbers). Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

\beta(-2k)= \tfrac{1}{2} E_{2k} \; ,
\beta(-2k-1)= 0 \; ,

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).

Приблизительные значения[править | править исходный текст]

s приблизительное значение β(s) OEIS
1 0.7853981633974483096156608 A003881
2 0.9159655941772190150546035 A006752
3 0.9689461462593693804836348 A153071
4 0.9889445517411053361084226 A175572
5 0.9961578280770880640063194 A175571
6 0.9986852222184381354416008 A175570
7 0.9995545078905399094963465
8 0.9998499902468296563380671
9 0.9999496841872200898213589
10 0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле[править | править исходный текст]

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,

\beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi\; ,
\beta^\prime(0) = \ln\left(\frac{\Gamma^2(\tfrac{1}{4})}{2\pi\sqrt2}\right)\; ,
\beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right)\; ,

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

\beta^\prime(n) = -\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)}}{(4k-1)^{1/(4k-1)}}\right)\; .

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • J. Spanier & K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
  • Weisstein, Eric W. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.