Бета-распределение

Текущая версия (не проверялась)

**Бета-распределение**
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$α > 0$ $β > 0$
Носитель	$x \in [0, 1]\!$
Плотность вероятности	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Функция распределения	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Математическое ожидание	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Медиана
Мода	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ для $α > 1,β > 1$
Дисперсия	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Коэффициент эксцесса	$6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Характеристическая функция	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Бе́та распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Содержание

$f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}$ ,

где

$α,β > 0$ произвольные фиксированные параметры, и
$\mathrm{B}(\alpha,\beta) = \int_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}\, dx$ — бета-функция.

Тогда случайная величина $X$ имеет бета-распределение. Пишут: $X ˜B(α,β)$ .

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров $α$ и $β$ .

$\alpha < 1,\ \beta < 1$ — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
или — график строго убывающий (синяя кривая)
- $\alpha = 1,\ \beta > 2$ — график строго выпуклый;
- $\alpha = 1,\ \beta = 2$ — график является прямой линией;
- $\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ — график строго вогнутый;
$\alpha = 1,\ \beta = 1$ график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
- $\alpha > 2,\ \beta = 1$ — график строго выпуклый;
- $\alpha = 2,\ \beta = 1$ — график является прямой линией;
- $1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ — график строго вогнутый;
$\alpha > 1,\ \beta > 1$ — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда $α = β$ , плотность вероятности симметрична относительно $1 / 2$ (красная и пурпурная кривые), то есть

$f_X(x-1/2) = f_X(x+1/2),\; x\in [0,1/2]$ .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$ , имеющей бета-распределение, имеют вид:

$\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ ,

$\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ .

Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

$\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1)$ .

Если $X, Y$ — независимые гамма распределённые случайные величины, причём $X ˜Γ(α,1)$ , а $Y ˜Γ(β,1)$ , то

$\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| Лапласа \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное (Гаусса) \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное