Биекция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).

Определение[править | править вики-текст]

Функция f:X\to Y называется биекцией (и обозначается f:X\leftrightarrow Y), если она:

  1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
    • \forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2).
  2. Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
    • \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y.


Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
  • Функция f:X\to Y является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f^{-1}:Y\to X такая, что
\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x и \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.
  • Если функции f и g биективны, то и композиция функций g\circ f биективна, в этом случае (g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если g\circ f биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

Применения[править | править вики-текст]

В информатике[править | править вики-текст]

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]


Литература[править | править вики-текст]

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.  Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.