Биекция

Текущая версия (не проверялась)

Биективная функция.

Функция $f:X\to Y$ называется биекцией (и обозначается $f:X\leftrightarrow Y$ ), если она:

Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
- $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)$ .
Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
- $\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$ .

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Содержание

$\mathrm{id}:X\to X$ — функция, сохраняющая все элементы множества $X$ , биективна на этом множестве.
$f(x)=x,\;f(x)=x^3$ — биективные функции из $\R$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
$f (x) = e x$ — биективная функция в $\R_+=(0,\;+\infty)$ . Но если её рассматривать как функцию в $\R$ , то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов).
$f (x) = sin x$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\R$ .

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

Функция $f:X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}:Y\to X$ такая, что

$\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.$

Если функции $f$ и $g$ биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$ . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что $f$ инъективна, а $g$ сюръективна.

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей

Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.