Билинейная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть \,L есть векторное пространство над полем \,K (чаще всего рассматриваются поля K=\mathbb R и K=\mathbb C).

Билинейной формой называется функция F\colon L\times L\to K, линейная по каждому из аргументов:

~F(x+z, y)=F(x,y)+F(z,y),
~F(x, y+z)=F(x,y)+F(x,z),
~F(\lambda x, y)=\lambda F(x,y),
~F(x, \lambda y)=\lambda F(x,y),

здесь x,y,z \in L и \lambda \in K.

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Билинейная форма ~F называется симметричной, если ~F(x,y)=F(y,x) для любых векторов x,y\in L .
  • Билинейная форма ~F называется кососимметричной (антисимметричной), если ~F(x,y)=-F(y,x) для любых векторов x,y\in L .
  • Вектор x\in L называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству M \subset L относительно ~F, если ~F(x,y)=0 для всех y\in M. Совокупность векторов x\in L, ортогональных подпространству M \subset L относительно данной билинейной формы ~F, называется ортогональным дополнением подпространства M \subset L относительно ~F и обозначается ~M^{\perp}.
  • Радикалом билинейной формы ~F называется ортогональное дополнение самого пространства ~L относительно ~F, то есть совокупность ~L^{\perp} векторов x\in L, для которых ~F(x,y)=0 при всех y\in L.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество всех билинейных форм W(L,L), заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе e_1,\ldots,e_n в L любая билинейная форма ~F однозначно определяется матрицей
\begin{pmatrix} 
F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ 
F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix},

так что для любых векторов x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n и y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n


F(x,y)=\begin{pmatrix}
x^1 & x^2 & \ldots & x^n 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
F(e_1, e_1) & F(e_1, e_2) & \ldots & F(e_1, e_n) \\ 
F(e_2, e_1) & F(e_2, e_2) & \ldots & F(e_2, e_n) \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
F(e_n, e_1) & F(e_n, e_2) & \ldots & F(e_n, e_n) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix},

то есть

F(x,y) = \sum_{i,j=1}^n f_{ij}\, x^i y^j, \ \quad f_{ij} = F(e_i, e_j).
  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства \,W(L,L) есть \,\dim W(L,L)=(\dim L)^2.
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы ~F зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы ~F. Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен \,\dim L.
  • Для любого подпространства M \subset L ортогональное дополнение ~M^{\perp} является подпространством M^{\perp} \subset L.
  • \dim L^{\perp} = \dim L - r, где \,r — ранг билинейной формы ~F.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса[править | править вики-текст]

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ~X^i выражаются через координаты в новом ~x^i через матрицу ~\beta ~X^i = \sum \beta^i_j x^j, или в матричной записи ~X = \beta x, то билинейная форма ~F на любых векторах ~x и ~y запишется, как

F(x,y) = \sum_{i,j} F_{ij} X^i Y^j = \sum_{i,j,k,m} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m x^k y^m,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

f_{km} = \sum_{i,j} F_{ij} \beta^i_k \beta^j_m,

или, в матричной записи:

~f = \beta^T F \beta,
~\beta = \alpha^{-1}, где ~\alpha — матрица прямого преобразования координат ~x = \alpha X.

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom[править | править вики-текст]

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством \text{Hom}(V\otimes V, k), где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, \text{Hom} (V \otimes V, k) \cong \text{Hom}(V, \text{Hom}(V,k)), то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из V в двойственное пространство V^*. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как B1(v) = B(v, ⋅), B2(v) = B(⋅, v).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.