Билинейное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Билинейное преобразование (или преим. в зап. литературе преобразование Тастина (Tustin's method transformation)) — конформное отображение, используемое для того, чтобы преобразовать передаточную функцию  H_a(s) \ линейной стационарной системы (корректирующие звенья систем управления, электронные фильтры и т. п.) из непрерывной формы в передаточную функцию  H_d(z) \ линейной системы в дискретной форме. Оно отображает точки  j \omega \ -оси,  Re[s]=0 \ , на s-плоскости в окружность единичного радиуса,  |z| = 1 \ , на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичной фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При взятии преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

z \  = e^{sT} \  = \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \  \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \

где  T \  — период квантования (обратная к частоте дискретизации величина). Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:


s \  = \frac{1}{T} \log(z) \  = \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3  + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5  + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \ldots \right] \  \approx  \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \  \approx  \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции  H_a(s) \ на её дискретный аналог:

s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}.

то есть:

H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right). \

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

z^{\prime} = \frac{a z + b}{c z + d}.


Источники[править | править исходный текст]

1 на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование (рус.). Проверено 15 ноября 2010. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012.