Биметрические теории гравитации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биметрические теория гравитацииальтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может иметь зависимость от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена[править | править исходный текст]

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчета формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору g_{ij} евклидов метрический тензор \gamma_{ij} . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

	ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}
 d\sigma^{2}=\gamma_{ij} dx^{i} dx^{j}

Первый метрический тензор g_{ij} описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор \gamma_{ij} относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из g_{ij} и \gamma_{ij}, обозначим \{^{i}_{jk}\} и \Gamma^{i}_{jk} соответственно. \Delta определим таким образом, чтобы

		  	
\Delta^{i}_{jk}=\{^{i}_{jk}\}-\Gamma^{i}_{jk}~~~~~~~~~~~~~~(1)

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: g-дифференцирование, основанное на g_{ij} — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе \gamma_{ij} — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). R^{\lambda}_{ij \sigma} и P^{\lambda}_{ij \sigma} будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из g_{ij} и \gamma_{ij} соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда \gamma_{ij} описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны P^{\lambda}_{ij \sigma} равен нулю.

Из (1) следует, что хотя \{^{i}_{jk}\} и \Gamma не являются тензорами, но \Delta — тензор, имеющий такую же форму, как \{^{i}_{jk}\}, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчет приводит к


R^{h}_{ijk}=-\Delta^{h}_{ij/k}+\Delta^{h}_{ik/j}+\Delta^{h}_{mj}\Delta^{m}_{ik}-\Delta^{h}_{mk}\Delta^{m}_{ij}

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив \{^{i}_{jk}\} на \Delta, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, \sqrt {-g} на \sqrt{\frac{g}{\gamma}}, элемент интегрирования d^{4}x на \sqrt {-\gamma}d^{4}x, где g = det(g_{ij}), \gamma = det(\gamma_{ij}) и d^{4}x = dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}. Необходимо отметить, что, как только мы ввели \gamma_{ij} в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

		  	
\frac{d^2x}{ds^2}+\Gamma^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}+\Delta^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что \Gamma описывает инерциальное поле, поскольку \Gamma исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же \Delta быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что \Delta описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа


K^{i}_{j}= N^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}N = -8 \pi \kappa T^{i}_{j}~~~~~~~~~~~~~~(3)

где

	  	
N^{i}_{j}=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha \beta}(g^{hi} g_{hj /\alpha})_{/ \beta}

или


N^{i}_{j}= \gamma^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj, \alpha}),\beta 
- (g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha}),\beta\right\} - \gamma^{\alpha \beta}(\Gamma^{i}_{j\alpha}),\beta + \Gamma^{i}_{\lambda \beta}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha - g^{h\lambda}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha} - \Gamma^{\lambda}_{j\alpha}]-\Gamma^{\lambda}_{j\beta}[g^{hi}g_{h\lambda},\alpha - g^{hi}g_{m\lambda}\Gamma^{m}_{h\alpha} -\Gamma^{i}_{\lambda\alpha}]

+ \Gamma^{\lambda}_{\alpha \beta}[g^{hi}g_{hj},\lambda - g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\lambda} -\Gamma^{i}_{j\lambda}]
	  	
N= g^{ij}N_{ij}, \kappa=\sqrt{\frac{g}{\gamma}},

и T^{i}_{j} - тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи


T^{i}_{j;i}=0.

Поэтому из (3)


K^{i}_{j;i}=0,

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к g_{ij}. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

  • Распространение электромагнитных волн
  • Внешнее поле звезд высокой плотности
  • Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле


Ссылки[править | править исходный текст]


п·о·р
Теории гравитации
Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля
Классическая физика

Релятивистская физика

Принципы

Классические

Релятивистские

Многомерные

Струнные

Прочие