Биномиальная модель оценивания опционов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным методом расчета цены американского опциона. Под ценой опциона Кол мы понимаем сумму денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право купить в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Аналогично для опциона Пут ценой является сумма денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право продать в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Указанный выше будущий момент называется моментом экспирации опциона. Очевидно, что в момент экспирации цены опционов Кол и Пут равняются:

C=Max(S-K,0)
P=Max(K-S,0)
(1)

Где

S — стоимость акции в момент экспирации;
K — заранее известная цена, по которой покупается (колл) или продается (пут) акция, т. н. страйк.

В момент покупки опциона цена акции в момент экспирации неизвестна. Предполагается, что эта цена является реализацией, значением, некоей случайной величины, а цена опциона является математическим ожиданием известной, вышеприведенной функции, описывающей цену опциона в момент экспирации с учетом дискаунта. Если обозначить через p(S) плотность распределения этой случайной величины, то цены европейских опционов Кол и Пут без учета дискаунта можно вычислить по формулам:

C = \int\limits_{K}^{\infty}(S-K)p(S)\mathrm dS
P = \int\limits_{0}^{K}(K-S)p(S)\mathrm dS
(2)

Таким образом, единственное, что надо знать для вычисления цены опционов — это плотность распределения будущей цены. К сожалению, это единственное не является таким уж маленьким и простым. Блэк и Шоулз постулировали, что распределение цены акции является лог-нормальным, то есть логарифм цены акции имеет нормальное распределение. Это предположение лежит в основе всей современной теории опционов. Таким образом, в соответствии с гипотезой Блэка-Шоулза плотность распределения будущей цены акции имеет вид:

p(S) =
\frac{1}{S \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln S - \mu)^2/2\sigma^2}
(3)

Где

\mu-математическое ожидание логарифма цены акции;
\sigma-среднеквадратическое отклонение логарифма цены акции;

Из предыдущих формул следует, что цены опционов без учета дискаунта равняются:

C=e^{\sigma^2+\mu}Lp(\frac{\sigma^2-\ln K+\mu}{\sigma})-KLp(\frac{-\ln K+\mu}{\sigma})
P=-e^{\sigma^2+\mu}Lp(-\frac{\sigma^2-\ln K+\mu}{\sigma})+KLp(-\frac{-\ln K+\mu}{\sigma})
(4)

где:

Lp(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(u^2/2)}\mathrm du
 — известная функция Лапласа, кумулятивная функция нормального распределения.

Предположение о том, что будущая цена акции описывается лог-нормальным распределением следует из более общего предположения о том, что процесс изменения цены акции во времени является диффузионным процессом с двумя постоянными параметрами: сдвигом \mu_0 и диффузией \sigma_0, называемой в финансах волатильностью, то есть справедливо уравнение:

dS={\mu_0}Sdt+{\sigma_0}S^2dW(t)
(5)
где:
W(t) — Винеровский процесс с единичной дисперсией.
\mu_0=r_d-r_f
r_d — безрисковая процентная ставка
r_f — дивидендная процентная ставка
В соответствии с формулой Ито x=\ln(S) удовлетворяет уравнению:
dx=({\mu_0-\sigma_0^2/2})dt+{\sigma_0}dW(t)
(6)
Из этой формулы непосредственно следует, что в момент времени t от покупки опциона x(t)=\ln(S(t)) является нормальной величиной, математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение которой равняются:
\mu=\ln{S_0}+({\mu_0-\sigma_0^2/2})t
\sigma={\sigma_0}\sqrt{t}
(7)
где:
S_0 — известная цена акции в момент покупки опциона.
Как известно, математическое ожидание любой функции U(t,x(t)) от времени и траектории диффузионного процесса удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
\frac{\partial U}{\partial t}=\mu_0 \frac{\partial U}{\partial x}+\sigma_0^2/2\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}
(8)

Следует иметь в виду, что в уравнении (8) время отсчитывается не от того момента, когда заключается сделка, а от момента экспирации. Решением уравнения (8) с начальными условиями (1) являются уравнения (4), в которых подставлены соответствующие параметры из уравнений (7). Эти решения являются хорошо известными формулами Блэка-Шоулза, позволющими вычислить цены европейского Кола и Пута при очевидном учете дискаунта, то есть после умножения на e^{-r_dt}. Для численного решения уравнения (8) можно воспользоваться соответствующей разностной схемой. В простейшем случае первая и вторая частные производные аппроксимируются следующими конечными разностями:

\frac{\partial U(t,x)}{\partial t}=\frac{U(t+\delta t,x)-U(t,x)}{\delta t}
\frac{\partial U(t,x)}{\partial x}=\frac{U(t, x+\delta x)-U(t, x-\delta x)}{2\delta x}
\frac{\partial ^2U(t,x)}{\partial x^2}=\frac{U(t, x+\delta x)+U(t, x-\delta x)-2U(t, x)}{\delta x^2}
(9)

Подставив формулы (9) в (8), получим следующую расчетную формулу, позволяющую перейти от времени  t к  t+\delta t :

 U(t+\delta t,x)=U(t,x)(1-\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2})+0.5U(t,x+\delta x)(\mu_0\frac{\delta t}{\delta x}+\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2})+0.5U(t,x-\delta x)(-\mu_0\frac{\delta t}{\delta x}+\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2})
(10)

Отметим, что формула (10) относится к т.н. явным разностным схемам, в которых значения функции на последующем слое находится непосредственно по значениям на предыдущем слое. В т.н. неявных схемах для нахождения значений функции на последующем слое приходится решать систему линейных уравнений. Преимуществом явной схемы является уменьшенное по сравнению с неявной количество вычислений. Недостаток заключается в том, что такая схема может оказаться неустойчивой, что и происходит, например, при использовании биномиального метода для опционов с барьерами. Для реализации (10) необходимо выбрать два параметра: шаг по времени  \delta t и шаг по пространству \delta x . В биномиальном методе выбирается лишь шаг по времени. Точнее выбирается количество шагов n от 0 до времени экспирации, а шаг по времени равняется:

\delta t=\frac{t}{n}
(11)

Шаг по пространству выбирается таким образом, что для перехода от предыдущего шага к последующему использовались не три значения функции, а лишь два. Собственно метод и называется «биномиал» из-за этого обстоятельства. Для этого принимается, что:

 1-\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2}=0

Из этой формулы следует, что шаг по пространству равняется:

\delta x=\sigma_0\sqrt\delta t
(12)

С учетом (12) схема вычислений (10), реализованная в биномиале имеет вид:

 U(t+\delta t,x)=0.5U(t,x+\delta x)(\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)+0.5U(t,x-\delta x)(-\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)
(13)

Формула (13) получена без каких-либо вероятностных соображений, исходя из хорошо известных методов численного решения дифферециальных уравнений в частных производных. Однако ее легко можно интерпретировать на языке теории вероятности. Действительно, из формулы (13) следует, что цена опциона в последующий момент времени является математическим ожиданием цен опциона в двух соседних узлах сетки, ниже на один шаг и выше на один шаг. Вероятности перехода от этих узлов вверх и вниз являются соответствующими коэффициентами в формуле (13). То есть

pup=0.5(\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)
pdown=0.5(-\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)
(14)

Если определять пространственные узлы не по логарифмам цен акций, а по самим ценам, то верхние и нижние значения цен акций связаны со значением, откуда происходит движение зависимостями:

Sup=Se^{\delta x}
Sdown=Se^{-\delta x}
(15)

Интересно отметить, насколько искусственно и непросто выводятся формулы (14) и (15), составляющие основу биномиального метода, в т. н. финансовой математике, и, в частности, в работах авторов метода. Отметим также, что в соответствии с формулой (13) в биномиальном методе используется не вся прямоугольная сетка с узлами по времени и пространстве, а т. н. треугольное дерево, в основании которого лежит момент времени, для которого и вычисляется цена опциона, а на каждом временном шаге значения функции считаются лишь в половине пространственных узлов. Очевидно, что рассмотренную схему вычислений можно использовать и для европейского опциона. Но поскольку в этом случае имеется явная аналитическая формула (Блэка-Шоулза) делать это нецелесообразно. В случае американского опциона после получения значения цены опциона по формуле (13) производится сравнение его со значением, полученным при ранней экспирации, то есть разности цены акции и страйка для Кола и разности страйка и цены акции для Пута. В случае превышения этими разностями цены опциона, последняя заменяется соответствующей разностью.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Саймон Вайн Опционы. Полный курс для профессионалов. — М.: Альпина Паблишер, 2008. — 466 с. — ISBN 978-5-9614-0855-3