Биномиальное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера , которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение[править | править исходный текст]

Биномиальное преобразование T последовательности {a_n} в последовательность {s_n} имеет вид

a_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.

Введём (Ta)_n = s_n, где T — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы T_{nk}.

Оператор T обладает свойством инволюции:

TT=1 или в иных обозначениях \sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm},
где
\delta — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

s_0 = a_0;
s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0;
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0;
\ldots
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0,
где
\triangle — оператор дифференцирования:  \Delta_h(f(x)) =  f(x + h) - f(x).

Пример[править | править исходный текст]

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

0   1   10   63   324   1485
  1   9   53   261   1161
    8   44   208   900
      36   164   692
        128   528
          400

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой 3^{n-2}(2n^2+n), которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой n^22^{n-1}

Сдвиг[править | править исходный текст]

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла B_i:

B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k

Простые производящие функции[править | править исходный текст]

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть  \left \{ \begin{matrix} f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \\ g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n \end{matrix} \right.

Тогда

g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{x}{1-x}\right). (простая производящая функция)

Преобразование Эйлера[править | править исходный текст]

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить x=\frac {1} {2} в формулу для простой производящей функции, то получим

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}},

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при p\in \mathbb{N}

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n}\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+p+1}}.

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции \,_2F_1, получая

\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right).

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть 0 < x < 1 имеет цепную дробь x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots].

Тогда

\left \{ \begin{matrix} \cfrac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]; \\ \cfrac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]. \end{matrix} \right.

Экспоненциальная производящая функция[править | править исходный текст]

Для экспоненциальной функции имеем

\left \{ \begin{matrix} \overline {f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}; \\ \overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}. \end{matrix} \right.

Тогда

\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x).

Интегральное представление[править | править исходный текст]

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

Обобщение биномиальных преобразований[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]