Блочная сортировка

Элементы распределяются по корзинам

Затем элементы в каждой корзине сортируются

Блочная сортировка (Карманная сортировка, корзинная сортировка, англ. Bucket sort) — алгоритм сортировки, в котором сортируемые элементы распределяются между конечным числом отдельных блоков (карманов, корзин) так, чтобы все элементы в каждом следующем по порядку блоке были всегда больше (или меньше), чем в предыдущем. Каждый блок затем сортируется отдельно, либо рекурсивно тем же методом, либо другим. Затем элементы помещаются обратно в массив. Этот тип сортировки может обладать линейным временем исполнения.

Данный алгоритм требует знаний о природе сортируемых данных, выходящих за рамки функций "сравнить" и "поменять местами", достаточных для сортировки слиянием, сортировки пирамидой, быстрой сортировки, сортировки Шелла, сортировки вставкой.

Преимущества: относится к классу быстрых алгоритмов с линейным временем исполнения O(N) (на удачных входных данных).

Недостатки: сильно деградирует при большом количестве мало отличных элементов, или же на неудачной функции получения номера корзины по содержимому элемента. В некоторых таких случаях для строк, возникающих в реализациях основанного на сортировке строк алгоритма сжатия BWT, оказывается, что быстрая сортировка строк в версии Седжвика значительно превосходит блочную сортировку скоростью.

Алгоритм

Если входные элементы подчиняются равномерному закону распределения, то математическое ожидание времени работы алгоритма карманной сортировки является линейным. Это возможно благодаря определенным предположениям о входных данных. При карманной сортировке предполагается, что входные данные равномерно распределены на отрезке [0, 1).

Идея алгоритма заключается в том, чтобы разбить отрезок [0, 1) на n одинаковых отрезков (карманов), и разделить по этим карманам n входных величин. Поскольку входные числа равномерно распределены, предполагается, что в каждый карман попадет небольшое количество чисел. Затем последовательно сортируются числа в карманах. Отсортированный массив получается путем последовательного перечисления элементов каждого кармана.

Псевдокод

function bucket-sort(A, n) is
  buckets ← новый массив из n пустых элементов
  for i = 0 to (length(A)-1) do
    вставить A[i] в конец массива buckets[msbits(A[i], k)]
  for i = 0 to n - 1 do
    next-sort(buckets[i])
  return Конкатенация массивов buckets[0], ..., buckets[n-1]

На вход функции bucket-sort подаются сортируемый массив (список, коллекция и т.п.) A и количество блоков - n.

Массив buckets представляет собой массив массивов (массив списков, массив коллекций и т.п.), подходящих по природе к элементам A.

Функция msbits(x,k) тесно связана с количеством блоков - n (возвращает значение от 0 до n), и, в общем случае, возвращает k наиболее значимых битов из x (floor(x/2^(size(x)-k))). В качестве msbits(x,k) могут быть использованы разнообразные функции, подходящие по природе сортируемым данным и позволяющие разбить массив A на n блоков. Например, для символов A-Z это может быть сопоставление номерам букв 0-25, или возврат кода первой буквы (0-255) для ASCII набора символов; для чисел [0, 1) это может быть функция floor(n*A[i]), а для произвольного набора чисел в интервале [a, b) - функция floor(n*(A[i]-a)/(b-a)).

Функция next-sort также реализует алгоритм сортировки для каждого созданного на первом этапе блока. Рекурсивное использование bucket-sort в качестве next-sort превращает данный алгоритм в поразрядную сортировку. В случае n = 2 соответствует быстрой сортировке (хотя и с потенциально плохим выбором опорного элемента).

Оценка сложности

Оценим сложность алгоритма блочной сортировки для случая, при котором в качестве алгоритма сортировки блоков (next-sort из псевдокода) используется сортировка вставками.

Для оценки сложности алгоритма введём случайную величину n_i, обозначающую количество элементов, которые попадут в карман B[i]. Время работы сортировки вставками равно $O\left(n^2\right)$.

Время работы алгоритма карманной сортировки равно

$T(n)=\Theta(n)+\sum^{n-1}_{i=0}O(n_i^2)$

Вычислим математическое ожидание обеих частей равенства:

$M\left(T(n)\right)=M\left( \Theta(n)+\sum^{n-1}_{i=0}O(n_i^2) \right) = \Theta(n)+\sum^{n-1}_{i=0}O\left(M(n_i^2)\right)$

Найдем величину $M(n_i^2)$.

Введем случайную величину $X_{ij}$, которая равна 1, если A[j] попадает в i-й карман, и 0 в противном случае:

$n_i=\sum_{j=1}^nX_{ij}$

$\begin{matrix} M\left(n_i^2\right)= & M\left[\left(\sum_{j=1}^nX_{ij}\right)^2\right]=M\left[\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nX_{ij}X_{ik}\right]= \\ \ & \sum_{j=1}^nM\left[X_{ij}^2\right]+\sum_{1\le j\le n}\ \sum_{1\le k\le n, k\ne j}M\left[X_{ij}X_{ik}\right] \end{matrix}$

$M\left[X_{ij}^2\right] = 1 \cdot \frac{1}{n}+0\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}$

Если k ≠ j, величины X_ij и X_ik независимы, поэтому:

$M\left[X_{ij}X_{ik}\right]=M\left[X_{ij}\right]M\left[X_{ik}\right]=\frac{1}{n^2}$

Таким образом

$M\left(n_i^2\right)=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}+\sum_{1\le j\le n}\ \sum_{1\le k\le n,k\ne j}\frac{1}{n^2}=2-\frac{1}{n}$

Итак, ожидаемое время работы алгоритма карманной сортировки равно

$\Theta(n)+n\cdot O(2-1/n)=\Theta(n)$

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд Глава 8. Сортировка за линейное время // Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание = Introduction to Algorithms second edition. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 230 - 234. — ISBN 5-8459-0857-4

См. также

• Список алгоритмов сортировки

Ссылки

• Визуализатор1 — Java-аплет.
• Визуализатор2 — Java-аплет.