Бордизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше[источник не указан 355 дней] говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Неориентированные бордизмы[править | править вики-текст]

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное (n+1)-мерное многообразие W (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий M_0 и M_1 диффеоморфных, соответственно, M и M' посредством некоторых диффеоморфизмов g_0\colon M\to M_0 и g_1\colon M'\to M_1). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,\;M_0,\;M_1) называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке (W,\;M_0,\;M_1,\;g_0,\;g_1)).

Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу \Omega_n^O относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: M — ограничивающее многообразие, M — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом \Omega_n^O обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения M\times [0,\;1]). Прямая сумма \Omega_*^O групп \Omega_n^O является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой[править | править вики-текст]

Ориентированные бордизмы[править | править вики-текст]

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия M и M' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на M_0 и M_1 (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g_0 и g_1, соответственно, в исходную ориентацию M и в ориентацию, противоположную исходной ориентации M'. Аналогично \Omega_n^O, и \Omega_*^O вводятся группы ориентированных бордизмов \Omega_n^{SO} и кольцо \Omega_*^{SO}.

Другие варианты[править | править вики-текст]

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, \mathrm{Spin}-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер \pi_i(S^n), и таким путём смог найти \pi_{n+1}(S^n) и \pi_{n+2}(S^n). Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим \Omega_n^{SO} для n\leqslant4. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература[править | править вики-текст]

  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также[править | править вики-текст]