Борновское приближение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений.

Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы  m \ на потенциале  V \ действующем на расстоянии  a \ , приближение заведомо применимо если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний  E_0 \ , т.е.  V \ll E_0 \sim \hbar^2/m(a)^2 \ . Если же  V \ не мало по сравнению с  E_0 \ , то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда  V \ll \hbar v/a \sim E_0 (a/\lambda) \ , где  \lambda \ есть дебройлевская длина волны частицы.

Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла  d \Omega ) частицы с изменением импульса  \hbar \vec{q} \ в борновском приближении получается:

 d\sigma=\frac{\mu^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int V(\vec{r}) e^{i\vec{q}\vec{r}}d^3r\right|^2 d \Omega,

где \muприведённая масса.

Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн:

 w_{p'p}=\frac{2\pi}{\hbar}\left|V_{p'p}\right|^2\delta(E_{p'}-E_p)d\nu_{p'},

где  \nu_{p'} \ есть плотность конечных состояний. Подставляя энергию свободной частицы  E_p=p^2/(2m) \ , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн  \psi_{\vec{p}}(\vec{r})=e^{i\vec{p}\vec{r}/\hbar} \ и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния  p' \ , мы немедленно приходим к формуле Борна.

Амплитуда рассеяния рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид:

 f = - \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \int V(\vec{r}) e^{i\vec{q}\vec{r}}d^3r.

Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть фазы рассеяния. В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом \hbar \sqrt{l(l+1)} , имеют вид:

 \delta_l = - \frac{\pi m}{\hbar} \int V(r)(J_{l + \frac{1}{2}}(q r))^2 r dr,

где J_{l + \frac{1}{2}}(q r)функция Бесселя.

Литература[править | править исходный текст]