Брахистохрона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Brachistochrone.png

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος — кратчайший и χρόνος — время) — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OY, материальная точка достигнет В из А за кратчайшее время.


Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A.

Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне[править | править исходный текст]

26 января 1697 года Исаак Ньютон решает задачу о брахистохроне — и попутно открывает вариационное исчисление.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдем такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

{\frac{m v^2}{2}}=mgy, где
m — масса тела,
g — ускорение свободного падения,
y — ордината,
v — скорость движения тела.

Получаем:

 v=\sqrt{2gy},

откуда можно найти значение проекции скорости на ось x:

v_x=\frac{v}{\sqrt{1+(y')^2}}=\frac{\sqrt{2gy}}{\sqrt{1+(y')^2}}.

Поскольку время на спуск равняется \int_a^b {\frac{1}{v_x}} dx , то задача сводится к минимизации значения интеграла

\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_a^b \sqrt{\frac{1+(y')^2}{y}} dx.

Ссылки[править | править исходный текст]